Ричард Фейнман - Фейнмановские лекции по физике 1. Современная наука о природе, законы механики Страница 28

Фиг. 6.10. Плотности вероятности координаты, (а) и скорости (6) частицы.

Точно такое же положение и со скоростью частицы: она тоже неизвестна нам точно. С некоторой вероятностью p2(v)?v частица может двигаться со скоростью, находящейся в интервале между v и v+?v.

Один из основных результатов квантовой механики состоит в том, что эти две плотности р1 (х) и р2 (v) не могут быть выбраны независимо в том смысле, что они обе не могут быть сколь угодно узкими. Если мы возьмем «полуширины» кривых p1(x) и p2(v) и обозначим их соответственно [?x] и [?v] (см. фиг. 6.10), то природа требует, чтобы произведение этих двух полуширив было не меньше величины h/m, где m – масса частицы, a h – некоторая фундаментальная физическая постоянная, называемая постоянной Планка. Это соотношение записывается следующим образом:

[?x][?v]>=h/m (6.22)

и называется принципом неопределенности Гейзенберга.

Чтобы это соотношение выполнялось, частица должна себя вести очень курьезно. Вы видите, что правая часть соотношения (6.22) постоянна, а это означает, что если мы попытаемся «приколоть» частицу в каком–то определенном месте, то эта попытка окончится тем, что мы не сможем угадать, куда она летит и с какой скоростью. Точно также если мы попытаемся заставить частицу двигаться очень медленно или с какой–то определенной скоростью, то она будет «расплываться», и мы не сможем точно указать, где она находится.

Принцип неопределенности выражает ту неясность, которая должна существовать при любой попытке описания природы. Наиболее точное и полное описание природы должно быть только вероятностным. Однако некоторым физикам такой способ описания приходится не по душе. Им кажется, что о реальном поведении частицы можно говорить только, когда одновременно заданы импульсы и координаты. В свое время на заре развития квантовой механики эта проблема очень сильно волновала Эйнштейна. Он часто качал головой и говорил: «Но ведь не гадает же господь бог «орел – решка», чтобы решить, куда должен двигаться электрон!» Этот вопрос беспокоил его в течение очень долгого времени, и до конца своих дней он, по–видимому, так и не смог примириться с тем фактом, что вероятностное описание природы – это максимум того, на что мы пока способны. Есть физики, которые интуитивно чувствуют, что наш мир можно описать как–то по–другому, что можно исключить эти неопределенности в поведении частиц. Они продолжают работать над этой проблемой, но до сих пор ни один из них не добился сколько–нибудь существенного результата.

Эта присущая миру неопределенность в определении положения частицы является наиболее важной чертой описания структуры атомов. В атоме водорода, например, который состоит из одного протона, образующего ядро, и электрона, находящегося где–то вне его, неопределенность в местонахождении электрона такая же, как и размеры самого атома! Мы не можем поэтому с уверенностью сказать, где, в какой части атома находится наш электрон, и уж, конечно, не может быть и речи ни о каких «орбитах». С уверенностью можно говорить только о вероятности p(r)?V обнаружить электрон в элементе объема ?V на расстоянии r от протона. Квантовая механика позволяет в этом случае вычислять плотности вероятности p(r), которая для невозмущенного атома водорода равна Ae–r2a2.

Это – колоколообразная функция наподобие изображенной на фиг. 6.8, причем число а представляет собой характерную величину радиуса, после которого функция очень быстро убывает. Несмотря на то что существует вероятность (хотя и небольшая) обнаружить электрон на большем, чем а, расстоянии от ядра, мы называем эту величину «радиусом атома». Она равна приблизительно 10–10 м.

Если вы хотите как–то представить себе атом водорода, то вообразите этакое «облако», плотность которого пропорциональна плотности вероятности. Пример такого облака показан на фиг. 6.11.

Фиг. 6,11, Воображаемый атом водорода.

Плотность («белизна») облачка пропорциональна плотности вероятности обнаружения электрона.

Такая наглядная картинка, пожалуй, наиболее близка к истине, хотя тут же нужно помнить, что это не реальное «электронное облако», а только «облако вероятностей». Где–то внутри него находится электрон, но природа позволяет нам только гадать, где же именно он находится.

В своем стремлении узнать о природе вещей как можно больше современная физика обнаружила, что существуют вещи, познать которые точно ей никогда не удастся. Многому из наших знаний суждено навсегда остаться неопределенным. Нам дано знать только вероятности.

* Максвелл получил выражение pv=Cv2e–av2, где а – некоторая связанная с температурой постоянная, а С выбирается таким образом, чтобы полная вероятность была равна единице.

* Эти последние 97 экспериментов проводились следующим образом. Ящик, в котором находились 30 монет, энергично встряхивался; затем подсчитывалось число выпадений «орла».

Глава 7 ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ

§ 1. Движение планет

В этой главе речь пойдет об одном из самых далеко идущих обобщений, сделанных когда–либо человеческим разумом. Мы заслуженно восхищаемся умом человека, но неплохо было бы постоять некоторое время в благоговении и перед природой, полностью беспрекословно подчиняющейся такому изящному и такому простому закону – закону тяготения. В чем же заключается этот закон? Каждый объект Вселенной притягивается к любому другому объекту с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Математическая запись этого утверждения такова:

F=Gmm'r2.

Если к этому добавить, что любое тело реагирует на приложенную к нему силу ускорением в направлении этой силы, по величине обратно пропорциональным массе тела, то способному математику этих сведений достаточно для вывода всех дальнейших следствий.

Но поскольку, как мы предполагаем, вы еще не столь талантливы, вооружим вас не только этими двумя аксиомами. Давайте вместе разберем следствия из них. Мы изложим вкратце историю открытия закона тяготения, остановимся на некоторых выводах из него и на его влиянии на историю, на загадках этого закона и на уточнении его Эйнштейном; мы «хотим еще обсудить связь закона тяготения с другими законами физики. Всего этого в одну главу не уложишь, но в надлежащих местах других глав мы снова будем возвращаться к этому.

История начинается с древних; наши предки наблюдали движение планет среди звезд и в конце концов поняли, что планеты движутся вокруг Солнца – факт, заново открытый позже Коперником. Немного больше труда потребовалось, чтобы открыть, как именно они вращаются. В начале XV столетия шли большие дебаты о том, действительно ли планеты обращаются вокруг Солнца или нет. У Тихо Браге на этот счет было свое представление, далекое от того, что думали древние: мысль его состояла в том, что все споры о природе движения планет разрешатся, если достаточно точно измерить положение планет на небе. Если измерения точно установят, как движутся планеты, то не исключено, что из двух точек зрения удастся отобрать одну. Это была неслыханная идея – чтобы открыть что–то, лучше–де проделать тщательные опыты, чем приводить глубокие философские доказательства. Следуя ей, Тихо Браге многие годы изучал положения планет в своей обсерватории на острове Фюн, близ Копенгагена. Он составил объемистые таблицы, впоследствии, после смерти Тихо, изученные математиком Кеплером. Из его данных Кеплер и извлек замечательные, очень красивые и простые законы, управляющие движением планет.

§ 2. Законы Кеплера

Прежде всего Кеплер понял, что все планеты движутся вокруг Солнца по кривой, называемой эллипсом, причем Солнце находится в фокусе эллипса. Эллипс – это не совсем овал, это особым образом точно определяемая кривая. Получить такую кривую можно, воткнув в фокусы по булавке, к которым привязана нить, натянутая карандашом. Выражаясь математически, это– геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) постоянна. Или, если угодно, это – окружность, видимая под углом к своей плоскости (фиг. 7.1).

Фиг. 7.1. Эллипс.

Другое наблюдение Кеплера состояло в том, что планеты движутся не с постоянной скоростью: поблизости от Солнца– быстрее, а удаляясь – медленнее. Более точно: пусть планета наблюдается в два последовательных момента времени, скажем на протяжении недели, и к каждому положению планеты проведен радиус–вектор. Дуга орбиты, пройденная планетой за неделю, и два радиус–вектора ограничивают некоторую площадь, заштрихованную на фиг. 7. 2.