Чарльз Уилан - Голая статистика. Самая интересная книга о самой скучной науке Страница 21

Ответ на этот вопрос содержится в материале, с которым вы знакомились в главе 1 и 2. Оценки, которые выставляются ученикам в школе, представляют собой несовершенную описательную статистику. Ученик, получающий посредственные оценки при прохождении напряженной школьной программы для специализированных классов по математике и другим естественным наукам, может иметь большие академические способности и потенциал, чем ученик той же школы, предпочевший программу с гуманитарным направлением. Это объясняется тем, что гуманитарные предметы усваиваются, как правило, гораздо легче, и получить высокие оценки по ним не составляет особого труда. Очевидно, что между разными школами также существуют немалые различия, которые сказываются на оценках учеников. Согласно данным College Board (орган, который разрабатывает и управляет SAT), этот тест призван «демократизировать доступ к высшим учебным заведениям для всех учащихся». Что можно возразить против такого довода? Все справедливо! SAT предлагает стандартизированный показатель способностей, который позволяет сравнивать всех абитуриентов, поступающих в колледжи и университеты. Но можно ли считать его достаточно надежным показателем способностей? Если мы хотим показатель, который позволяет легко сравнивать способности учащихся, то мы могли бы также предложить всем выпускникам школы посоревноваться в забеге на 100 ярдов, что было бы гораздо дешевле и проще, чем администрировать SAT. Проблема, конечно же, в том, что результат, показанный в забеге, никоим образом не коррелирован с академической успеваемостью в колледжах и университетах. Данные о результатах забега получить легко, однако они не имеют ничего общего с интересующим нас вопросом.

Чем же SAT лучше в этом отношении? К большому разочарованию будущих поколений старшеклассников, SAT вполне достойно справляется с задачей прогнозирования успехов студентов-первокурсников, так что сдавать его придется. College Board публикует соответствующие показатели корреляции. На шкале от 0 (полное отсутствие корреляции) до 1 (идеальная корреляция) корреляция между средней оценкой ученика старших классов школы и средней оценкой студента-первокурсника равняется 0,56. (Чтобы было понятнее, что это означает, скажу, что корреляция между ростом и весом взрослых мужчин в Соединенных Штатах составляет примерно 0,4.) Корреляция между комплексным результатом, показанным при сдаче SAT (чтение, математика и письмо), и средним баллом студента-первокурсника также 0,56{25}. Это вроде бы говорит в пользу отказа от SAT, поскольку этот тест способен предсказать академическую успеваемость будущих студентов колледжей и университетов ничуть не лучше, чем средняя оценка ученика старших классов. По сути, самым надежным показателем будет комбинация баллов, полученных при сдаче SAT, и средней оценки ученика старших классов: корреляция между таким сочетанием и средним баллом студента-первокурсника составляет 0,64. Да, это действительно так.

Важным моментом в этом обсуждении является то, что корреляция не предполагает причинно-следственной связи: положительная или отрицательная корреляция между двумя переменными вовсе не обязательно означает, что изменения одной переменной вызывают изменения другой. Например, выше я указывал на вероятную положительную корреляцию между суммой баллов, полученных учащимся при сдаче SAT, и количеством телевизоров у него дома. Но это не значит, что родители могут существенно повысить результаты тестов своих детей путем покупки еще пяти телевизоров. Не говорит это, по-видимому, и о том, что сидение перед телевизором благотворно сказывается на академической успеваемости ученика.

Самым логичным объяснением такой корреляции может быть то, что высокообразованные родители могут себе позволить покупку нескольких телевизоров, что, однако, не мешает их детям сдавать экзамены с результатами, превышающими средний балл. Как количество телевизоров, так и экзаменационные оценки, по-видимому, обусловлены некой третьей переменной, коей является уровень образования родителей. Я не могу доказать наличие корреляции между количеством телевизоров в семье и количеством баллов, полученных при сдаче SAT (College Board не публикует соответствующих данных). Но готов доказать, что ученики из состоятельных семей демонстрируют в среднем более высокие результаты сдачи SAT, чем ученики из менее обеспеченных семей. Согласно данным, опубликованным College Board, учащиеся из семей с годовым доходом, превышающим 200 000 долларов, в среднем получают при сдаче математического раздела SAT 586 баллов, тогда как учащиеся из семей с годовым доходом, равным или меньшим 20 000 долларов, в среднем получают при сдаче того же математического раздела SAT лишь 460 баллов{26}. Между тем, вполне вероятно и то, что в домах семей с годовым доходом, превышающим 200 000 долларов, больше телевизоров, чем в домах семей с годовым доходом менее 20 000 долларов.

Я начал писать эту главу несколько дней назад. За это время у меня появилась возможность посмотреть фильм Bhutto. Он действительно замечательный. Полная версия фильма, в которой охватывается период с момента отделения Пакистана от Индии в 1947 году до убийства пакистанского премьер-министра Беназир Бхутто в 2007-м, производит сильное впечатление. Голос Бхутто искусно вплетается в сюжетную линию в форме выступлений и интервью. Как бы то ни было, я пометил эту киноленту пятью звездочками, что вполне соответствует прогнозу Netflix.

В своей деятельности компания Netflix использует концепцию корреляции. Все началось с того, что я выставил оценки ряду фильмов. Netflix сравнила их с рейтингами других кинозрителей, чтобы выявить тех, чьи рейтинги высоко коррелированы с моими. Этим кинозрителям, как правило, нравятся те же фильмы, что и мне. Установив данный факт, Netflix может рекомендовать мне фильмы, которые понравились моим единомышленникам и которых я еще не видел.

Это, так сказать, «картина в целом». Фактическая методология гораздо сложнее. Вообще говоря, в 2006 году Netflix инициировала конкурс, в рамках которого обычным гражданам было предложено разработать механизм, который бы повысил эффективность уже существующих рекомендаций Netflix по меньшей мере на 10 % (это означает, что данная система стала бы на 10 % точнее при прогнозировании того, как бы кинозритель оценил тот или иной фильм после просмотра). Победителю был обещан 1 миллион долларов.

Каждый человек или группа людей, зарегистрировавшихся для участия в конкурсе, получал «обучающие данные», состоящие из более чем 100 миллионов рейтингов, выставленных 18 000 фильмам клиентами Netflix (их общее количество составляло 480 000 человек). Отдельная совокупность из 2,8 миллиона рейтингов не разглашалась (то есть Netflix знала, как кинозрители оценили эти фильмы, но участникам конкурса такая информация не предоставлялась). Конкурсантов оценивали по тому, насколько успешно предложенные ими алгоритмы прогнозировали фактические оценки, выставленные зрителями этих «неразглашенных» фильмов. Спустя три года тысячи команд из более чем 180 стран представили на суд жюри свои предложения. К участникам конкурса предъявлялось два требования. Во-первых, победитель должен был уступить Netflix права на свой алгоритм. И во-вторых, он должен был «объяснить миру, как ему удалось решить эту задачу и каким образом она работает»{27}.

В 2009 году Netflix объявила победителя. Им стала группа из семи человек, в состав которой входили статистики и программисты из США, Австрии, Канады и Израиля. Увы, я не могу описать здесь – даже в приложении – систему-победителя. Объяснение принципа ее действия занимает 92 страницы. Качество рекомендаций Netflix произвело на меня неизгладимое впечатление. Тем не менее система Netflix – просто супернавороченная вариация того, чем занимаются люди с момента появления кинематографа: найти кого-либо со схожими вкусами и попросить порекомендовать вам тот или иной фильм. Вам, как правило, нравятся те же фильмы, что и мне, и не нравятся те же фильмы, что и мне. Так что вы думаете о новом фильме Джорджа Клуни?

В этом и состоит суть корреляции.

Приложение к главе 4

Чтобы вычислить коэффициент корреляции между двумя совокупностями чисел, вы должны выполнить перечисленные ниже действия, каждое из которых иллюстрируется путем использования данных о значениях роста и веса для 15 гипотетических учащихся в приведенной ниже таблице.

1. Преобразуйте рост каждого учащегося в стандартные единицы: (рост ‒ среднее значение) / стандартное отклонение.

2. Преобразуйте вес каждого из учащихся в стандартные единицы: (вес ‒ среднее значение) / стандартное отклонение.

3. Для каждого учащегося вычислите произведение (вес в стандартных единицах) × (рост в стандартных единицах). Вы должны увидеть, что это число будет самым большим по абсолютному значению, когда рост и вес ученика расположены относительно далеко от своих средних значений.