Инесса Раскина - Логика для всех. От пиратов до мудрецов Страница 21

Мудрецы и числа

Задача Д53. Каждому из двух мудрецов дали бумажку с написанным на ней натуральным числом и сообщили, что одно число вдвое больше другого. Когда мудрецы посмотрели на числа, между ними состоялся такой диалог:

А: «Я не знаю твое число».

Б: «И я не знаю твое число».

А: «И я не знаю твое число».

…

Докажите, что рано или поздно кто-то из мудрецов сможет сказать: «Теперь я знаю твое число».

Задача Д54*. Султан вызвал 10 умнейших своих мудрецов и огласил правила нового испытания. Каждому мудрецу сообщат число от 1 до 1000 включительно, одно из чисел строго больше остальных. Затем каждого мудреца по очереди будут спрашивать, не у него ли максимальное число. Он может ответить «Не знаю» либо «У меня». После ответа «Не знаю» испытание продолжается, вопрос задают следующему мудрецу. Если последний мудрец ответил «Не знаю», вопрос опять задают первому мудрецу и так далее. После ответа «У меня» испытание заканчивается. Если мудрец ответил правильно, всех мудрецов отпускают, если неправильно – всех мудрецов казнят.

Мудрецам запретили не только обмениваться какой-либо информацией во время испытания, но даже договариваться о чем-либо заранее. Испытание началось. Королевский палач сто раз обошел всех мудрецов, и сто раз каждый из них ответил «Не знаю». Наконец, палач в сто первый раз спросил первого мудреца, не у него ли максимальное число.

«У меня!» – ответил мудрец. Конечно, ответ был правильный, всех мудрецов отпустили. Какое число было у первого мудреца?

Задача Д55Ї Математик В предложил математикам А и Б такую загадку:

– Я задумал три попарно различных натуральных числа, произведение которых не превосходит 50. Сейчас я конфиденциально сообщу А это произведение, а Б – сумму задуманных чисел. Попробуйте отгадать эти числа.

Узнав произведение и сумму соответственно, А и Б вступили в диалог:

А: «Я не знаю этих чисел, но если бы мое число было суммой, я бы их знал».

Б: «Я все равно не знаю их».

Докажите, что теперь А сможет определить числа.

Задача Д56*. В одиночных камерах сидят 4 друга-математика. Каждому из них сообщили, что их номера в списке различны, двузначны и один из этих номеров равен сумме трех других. Но, даже узнав номера троих других, никто из них не смог вычислить свой номер. Так какие же у них были номера?

Задача Д57*. Каждому из трех логиков написали на лбу натуральное число, причем одно из этих чисел являлось суммой двух других, и сообщили им об этом. Логик не видит, что написано у него на лбу, но видит, что написано у других. Первый логик сказал, что не может догадаться, какое число написано у него на лбу. После этого то же самое сказал второй логик, а затем и третий. Тогда первый сказал: «Я знаю, что у меня на лбу написано число 50». Какие числа написаны у двух остальных?

Решения задач

Занятие 1

1.5. 1) Это не только не высказывание, но и вообще не утверждение. Данное предложение побудительное, а высказывание всегда является повествовательным предложением. Например, «Все умные люди перед тем, как что-либо отрезать, проводят семикратные измерения». Истинность такого высказывания весьма сомнительна.

2) Грамматическая структура этого предложения слишком сложна. При желании можно превратить поэтическую истину в аналогичное по смыслу ложное высказывание «Для того чтобы жить в доме, достаточно его нарисовать». Только зачем?

3) Чтобы превратить это утверждение в высказывание, надо точно указать время и место.

1.7. 1) Да. 2) Нет. Митя и Андрей могут иметь одинаковый рост.

1.8. 1) Достаточно ли заменить дальнюю дорогу на ближнюю? Нет, поскольку завтра королю вообще может быть не суждено никакой дороги. Можно поставить перед глаголом частицу «не»: «Завтра королю не выпадает дальняя дорога». Или сказать так: «Завтра королю либо выпадает ближняя дорога, либо вообще не выпадает дороги».

2) Использование антонима («У него деньжонок мало») вновь приводит к ошибке: денег у него может и вовсе не быть. Спасительное «не» не спасает. Правильное отрицание звучит так: «У него деньжонок мало или совсем нет»

3) Тут все ясно. Любовь либо есть, либо ее нет. Отрицание: «Я денежки не люблю».

1.9. 1) Если контроль за прическами есть, то красить волосы нельзя. Если его отменят, то можно. Но директор возражает против отмены – значит, все же нельзя.

Ответ. Нельзя.

Комментарий. Это утверждение является двойным отрицанием (другими словами, отрицанием отрицания). Истинному утверждению соответствует ложное отрицание и снова истинное двойное отрицание.

2) Если контроль за прическами есть, то красить волосы нельзя. Если решили его запретить, то можно. Если это решение отменить, то снова нельзя. Но директор возражает против отмены – значит, все же можно.

Ответ. Можно.

Комментарий. Здесь отрицание встречается трижды (возражает, отмена, запрет) – т. е. нечетное число раз. Так как пары отрицаний «нейтрализуют» друг друга, то можно считать, что контроль просто отрицается.

1.10. Решение 1. Если бы данное высказывание было истинным, этот критянин был бы лжецом и не мог делать истинных утверждений. Если оно ложное, противоречия нет: этот критянин лжет, но на острове есть другие критяне, которые говорят правду.

Ответ 1. Ложно.

Решение 2. Как доказано в первом решении, эта фраза не является истинным высказыванием. А теперь представьте, что фразу «Все критяне лжецы» сказали все критяне одновременно (например, что говоривший – единственный житель острова). Если это ложное высказывание, то все критяне солгали, что делает каждое высказывание истинным.

Ответ 2. Фразу «Все критяне лжецы», сказанную критянином, вообще нельзя считать высказыванием и обсуждать ее истинность.

Комментарий. В задаче изложен парадокс Эпименида – вариант знаменитого парадокса лжеца. Считается, что греческий философ Филит Косский умер от истощения и бессонницы, пытаясь его разрешить. Чтобы не последовать его примеру, мы избрали простейший путь – исключили из рассмотрения утверждения, говорящие о своей истинности. Более сложная точка зрения изложена в главе о парадоксах книги Рэймонда М. Смаллиана «Как же называется эта книга?».

1.11. 1) Верно отрицание: «Сумма двух двузначных чисел может не быть двузначной». В ошибочности формулировки отрицания «Сумма двух двузначных чисел – не двузначное число» поможет убедиться закон исключенного третьего.

2) Утверждение верно. Его отрицание – «Сумма двух четных чисел может не быть четным числом». Ребята скорее всего скажут «Сумма двух четных чисел может быть нечетным числом». Признаем и такую формулировку допустимой, считая заранее известным, что сумма целых чисел – целое число и что все целые числа либо четные, либо нечетные.

3), 4) Для получения отрицания достаточно заменить «можно» на «нельзя» или «невозможно». В пункте 3 верно утверждение. Например, можно сторону 20 разделить на 4 равных части, а сторону 15 – на 5 равных частей и провести через точки деления прямые, параллельные сторонам. В пункте 4 верно отрицание: площадь исходного квадрата нечетна, а предполагаемых частей – четна.

5) Пусть в школе n учеников. Каждый может иметь от 0 до n – 1 друга – всего n вариантов. Но все эти варианты одновременно реализоваться не могут: если у кого-то n – 1 друг (т. е. он дружит со всеми остальными учениками), то никто другой не может вообще не иметь друзей. Поэтому вариантов меньше, чем учеников, и какой-то вариант соответствует хотя бы двум ученикам.

6) Для формулировки отрицания убрать «не» недостаточно. Если уточнить: «Через любое отверстие…», то ясно, что это общее высказывание, к которому отрицание строится так: «В листке из школьной тетради можно прорезать такое отверстие, через которое может пролезть человек». С такими высказываниями мы еще встретимся на втором занятии. Как ни странно, верно именно отрицание. На рис. 21 показано, как вырезать подходящее отверстие. Чем чаще разрезы, тем более длинная и узкая «змейка» будет его ограничивать.

Рис. 21

Занятие 2

2.9. 1) Да, могут. Если все грибы съедобны. 2) Да, могут. Если в корзине есть и съедобные, и несъедобные грибы. 3) Да, могут. Если съедобных грибов вообще нет.

2.10. Нет, не является. Эти высказывания вполне могут выполняться одновременно.

2.11. Иллюстрации изображены на рисунке 22. Одинаковый смысл имеют третье и четвертое высказывания.

2.12. Денис не прав. Он путает высказывания «У всех великих людей плохой почерк» и «Все люди с плохим почерком– великие» (см. рис. 23).

2.13. Правду сказали все трое.

Комментарий. «Хотя бы один» означает «Ровно один или больше одного». В данном случае у Зайца «хотя бы один» означает «ровно один», у Волка – «двое», у Лисы – «все трое».