Михаил Колесников - Лобачевский Страница 19

Существует еще и скрытая сторона его жизни. Он пытается совершить то, чего не смогли сделать математики всех стран мира за две тысячи лет со времен Эвклида: доказать одну из аксиом, или постулат, содержащийся в знаменитых «Началах». Этот постулат о параллельных линиях, или же пятый постулат, — такой же крепкий орешек, как и задача о квадратуре круга, и многие великие математики обломали на нем зубы. Посидоний, Птолемей, Прокл, Декарт, Валлис, Лейбниц, Даламбер, Ламберт, Клавий, Ампер, Лагранж, Фурье, Бертран, Лежандр, азербайджанский математик XIII века Насирэддин Туси, Омар Хайям, Ибн-аль-Хайтам тщетно старались пролить свет на это «темное пятно в теории параллельных линий».

Постулат — значит отправное (исходное) положение, которое в геометрии принимается без доказательства, непререкаемая истина. Иногда постулаты называют аксиомами. Они основываются не на логике, а на других источниках познания.

Геометрия в «Началах» Эвклида изложена способом, который называется аксиоматическим методом построения теории. Сперва перечисляются исходные понятия — точка, линия, прямая, поверхность, угол и т. д.; затем приводятся основные предложения — аксиомы, служащие логическим фундаментом всего здания геометрии. Из исходных понятий с помощью определений образуются новые понятия. Геометрия — наука дедуктивная. Путем логического вывода из аксиом и определений доказывают последовательно новые предложения — теоремы.

Постулаты и аксиомы составляют в совокупности систему аксиом Эвклида. «Начала», состоящие из тринадцати книг, всегда поражали математиков силой логической концепции, во все века признавались самым незыблемым творением научной мысли, казались безупречными. Английский геометр Де Морган писал по этому поводу: «Никогда не было системы геометрии, которая в существенных чертах отличалась бы от плана Эвклида; и до тех пор, пока я этого не увижу собственными глазами, я не поверю, что такая система может существовать». Эвклид строго разделил положения геометрии на доказываемые и недоказываемые и выделил пять постулатов, которые, по его мнению, являются недоказуемыми, но исходя из которых можно доказать все остальные положения геометрии.

Но во всей этой логически стройной, казалось бы, безупречной системе имелась закавыка, лишавшая математиков покоя на протяжении двадцати веков, — постулат о параллельных линиях.

Этот постулат стоит в «Началах» Эвклида как-го особняком. Сформулирован он тяжеловесно, невнятно, сложнее, чем остальные. Его называли «странным», «загадочным». Будто кто-то с другой планеты или же с мифической Атлантиды, более умудренный, знающий нечто неведомое древним грекам, продиктовал аксиому великому геометру, а Эвклид остановился перед ней в недоумении, но, поразмыслив, все-таки внес в свои «Начала», глубоко, однако, сомневаясь в том, является ли пятый постулат в самом деле постулатом или он — доказуемая теорема. Ведь «Начала» — результат труда не столько самого Эвклида, сколько его предшественников. Эвклид привел в стройную систему все то, что существовало до него, поднял огромный пласт греческой геометрии.

Пятый постулат Эвклида в «Началах» сформулирован так: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, — то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

Этот постулат лежит в основе учения о параллельных прямых. Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, как далеко бы мы их ни продолжали.

Приняв пятый постулат за непогрешимую истину, за аксиому, можно доказать, что к прямой через точку, лежащую вне ее, всегда можно провести одну, и только одну, параллельную.

Но является ли пятый постулат аксиомой — истиной, не требующей доказательств? И в самом ли деле через точку, взятую вне прямой, можно провести лишь одну-единственную параллельную этой прямой? Казалось бы, стоит лишь взглянуть на чертеж — и все ясно. Однако геометрия — наука строгая, она мало верит наглядности, непосредственному впечатлению, зрительным ощущениям. Чертеж — всего-навсего иллюстрация, а не способ доказательства.

Есть в «Началах» аксиомы, настолько очевидные, что они в самом деле не вызывают никаких сомнений, например: «целое больше части», «через всякие две различные точки проходит одна, и только одна, прямая», «равные порознь третьему, равны между собой». Пятый постулат лишен подобной очевидности. Еще древним грекам казалось, что положение о параллельных есть теорема, а не аксиома, и ее следует доказать на основе других аксиом и постулатов. Решили, что пятый постулат попал в число аксиом не потому, что его нельзя доказать, а лишь потому, что сам Эвклид не смог найти доказательства. Он оставил эту работу другим математикам.

Нужно раз навсегда определить, что же такое пятый постулат, является ли он логически необходимым следствием остальных. Это следует сделать хотя бы потому, что пятый постулат занимает особое место в геометрии, он как бы делит ее на две части: на «абсолютную» геометрию, которая в своих доказательствах легко обходится без пятого постулата — ей он просто не нужен, и на «собственно эвклидову», где пятый постулат является основой основ, на нем держатся многие теоремы. Не только теория параллельных, но и тригонометрия, подобие фигур и т. д. Пятый постулат — это фундамент. А фундамент должен быть прочным.

И вот на протяжении двадцати веков математики пытаются перевести пятый постулат из разряда недоказуемых аксиом в разряд доказанных теорем. Эти усилия напоминают бег по кругу с завязанными глазами.

Иные были почти уверены, что решение наконец-то найдено! Но при строгом рассмотрении становилось ясно, что все «доказательства» сводились к замене пятого постулата другим положением, вытекающим опять же из того же самого пятого постулата. Получался заколдованный круг. Появилось множество утверждений, эквивалентных пятому постулату: уже известное нам — существует только одна прямая, параллельная данной и проходящая через данную точку; и другие — сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым; или же — для всякой геометрической фигуры существует ей подобная, но не равная ей фигура и т. п.

Немецкий философ и математик Ламберт, отчаявшись доказать постулат, воскликнул: «Доказательства эвклидова постулата могут быть доведены столь далеко, что остается, по-видимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо равносильный ему постулат».