Олег Арсенов - Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре Страница 61

-237-

одним из основных в том смысле, что его свойства определяют свойства всех остальных состояний, так как любой вектор состояния в представлении вторичного квантования может быть получен из вакуумного действием на него оператора рождения частиц.

Векторное поле— физическое поле, состоящее из трех независимых компонент, изменяющихся при поворотах координатных осей или преобразованиях Лоренца как компоненты вектора или 4-вектора. Примером векторного поля может служить поле скоростей или электромагнитное поле (описываемое четырехмерным вектор-потенциалом). В квантовой теории поля квантами векторного поля являются векторные частицы с единичным спином. При этом действительному векторному полю соответствует электрически нейтральная частица, а комплексному — заряженная частица (и ее античастица с зарядом противоположного знака). По поведению относительно пространственной инверсии с заменой координат векторные поля делят на собственно векторные, меняющие знак при инверсии, и аксиальные, или аксиально-векторные, не меняющие знака.

Временноподобная бесконечность будущего— область пространства-времени в очень далеком будущем — области пространства-времени, куда идут мировые линии материальных объектов.

Временноподобная бесконечность прошлого— область пространства-времени в удаленном прошлом, откуда пришли все мировые линии частиц вещества.

Временноподобная мировая линия— траектория в пространстве-времени, образующая с осью времени угол менее 45°.

Вселенная— вся окружающая нас объективная физическая реальность. Астрономы и физики обычно подразумевают под этим ту ее часть, которая в принципе доступна изучению естественнонаучными методами. Астрономическая Вселенная, или Метагалактика, — это часть Вселенной, доступная наблюдениям в настоящее время или в обозримом будущем. Возраст Вселенной — время, прошедшее от начала ее расширения, сейчас его определяют в 13,7 миллиарда лет.

Геодезическая линия— кривая определенного типа, обобщение понятия «прямая» в искривленных пространствах. Конкретное определение зависит от типа пространства. Например, на двумерной поверхности, вложенной в евклидово трехмерное пространство, геодезические линии — это линии, достаточно малые дуги которых являются на этой поверхности кратчайшими путями между их концами. На плоскости это будут прямые, на круговом цилиндре — винтовые линии, на сфере — большие круги. Геодезические линии активно используются в релятивистской физике. Так, траектория свободно падающего незаряженного пробного тела в общей теории относительности и вообще

-238-

в метрических теориях гравитации является геодезической линией наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, движущимися вместе с телом. Часто физическую теорию, обладающую действием или выраженную в гамильтоновой форме, можно переформулировать как задачу отыскания геодезических линий на некотором римановом или псевдоримановом многообразии.

Гильберт Давид(1862–1943) — выдающийся немецкий математик-универсал, внес значительный вклад в развитие многих математических разделов. После смерти Анри Пуанкаре долгое время считался признанным мировым лидером математиков и философов-неопозитивистов. Работы Гильберта по теории алгебраических чисел преобразовали эту область математики и стали исходным пунктом ее последующего развития. Гильберт ввел ряд важных новых понятий — теорию числовых полей, вариационное исчисление и функциональный анализ, в частности, в спектральную теорию линейных операторов.

Гиперповерхность— срез четырехмерного пространства-времени.

Гиперсфера— сфера в гипотетическом многомерном пространстве.

Гипотеза Пуанкаре— топологическая задача, дающая достаточное условие того, что пространство является трехмерной сферой с точностью до деформации. В исходной форме утверждает, что всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере. Обобщенная гипотеза Пуанкаре содержит утверждение, что для любого  nвсякое многообразие размерности nгомотопически эквивалентно сфере размерности nтогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Исходная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщенной гипотезы при n= 3. Она сформулирована французским математиком Пуанкаре в 1904 году. Попытки доказать гипотезу привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий. Доказательства обобщенной гипотезы Пуанкаре для n >5 получены в начале 1960-1970-х годов почти одновременно Смейлом и Столлингсом (независимо и другими методами). Для n > 1его доказательство было распространено на случаи n= 5 и 6 Зееманом. Доказательство значительно более трудного случая n= 4 было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях. Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре и более общей гипотезы Терстона было найдено только в 2002 году Г. Я. Перельманом. Впоследствии доказательство Перельмана было проверено и представлено в развернутом виде как минимум тремя группами ученых. Доказательство использует поток Риччи

-239-

с хирургией и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

Голая сингулярность— пространственно-временная сингулярность, не окруженная горизонтом событий.

Гомеоморфизм(от греч. homoios— подобный и гомео morphe— вид, форма) — топологическое взаимно-однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому тоже непрерывно. Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы.

Гомоморфный образ— образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например графов.

Гомология— одно из основных понятий алгебраической топологии. Она дает возможность строить алгебраический объект (группу или кольцо), который является топологическим инвариантом пространства. Простейший пример: на поверхности замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от нее, если мы произведем разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия является таковой, а на торе хотя и существуют гомологичные нулю замкнутые линии, но разрез по меридиану или параллели не приведет к отделению куска поверхности.