Яков Перельман - Для юных математиков. Веселые задачи Страница 14

Игра заключается в том, что складывают из определенных геометрических фигур, «танграммов», бесчисленное множество всевозможных силуэтов. «Танграммы» названы так оттого, что их придумал, по преданию, некий китаец Тан. Они вырезываются из черного картона или выпиливаются из дерева и представляют собою части квадрата, разделенного известным образом.

Вот как надо разрезать квадрат (рис. 80). Сначала соедините углы В и D, т. е. проведите «диагональ» BD. Затем соедините середины сторон ВС и DC, т. е. проведите линию KL. Точку А соедините с серединою KL, т. е. с точкою М, а точку М соедините с G, т. е. с серединою ЕВ. Затем К соедините с I (т. е. с серединою DE).

Рис. 80.

Теперь на квадрате проведены все нужные линии, и вы можете вырезать по ним танграммы (Приложение, стр. 241 [8] ). У вас получаются следующие геометрические фигуры:

5 треугольников (2 больших, 1 средней величины и 2 маленьких); 1 квадрат и 1 параллелограмм.

Чтобы привыкнуть к обращению с танграммами, смешайте эти семь фигур и попробуйте, не глядя на чертеж, сложить из них тот квадрат, из которого они получились. Едва ли это удается вам сразу. Но все же не сдавайтесь, а терпеливо ищите решения. Добившись его, перейдите к решению следующих «танграммных» задач.

Задачи эти состоят в том, что из 7 упомянутых фигур необходимо составить определенный силуэт, причем: 1) нельзя класть один танграмм на другой, хотя бы кончиком, 2) для каждого силуэта должны быть использованы все 7 танграммов.

Вы найдете среди прилагаемых силуэтов довольно характерные и удачные изображения, несмотря на простоту и угловатость контура. Недаром танграммными изображениями увлекались художники (Густав Доре), а Наполеон в своем невольном уединении на острове св. Елены целые часы, говорят, проводил за этой «китайской головоломкой».

Вы видите здесь геометрические силуэты двух игроков, склонившихся над бильярдным столом. Каждый силуэт – и игроков и бильярдного стола – сложен исключительно из танграммов; и в состав каждого из этих трех силуэтов вошли все 7 танграммных фигур. Можете ли вы указать, как эти фигуры сложены? ЗАДАЧА № 92 «Оркестр»

В нашем оркестре из 7 танграммов сложены и барабанщик (направо), и пюпитр возле него, и контрабасист, и его контрабас, и толстый трубач, и пианист, сидящий за роялем, и, наконец, самый рояль.

Как же составлены эти силуэты?

Сложите ряд танграммных фигур на таблице 84; они изображают силуэты: петуха, женщины, мужчины, девушки, коровы, кошки, собаки и мыши. ЗАДАЧА № 94 Еще шесть силуэтов

Попробуйте сложить из танграммов нарисованные на рис. 85 геометрические силуэты: девушки, сидящей на траве; женщины, смотрящейся в зеркало; головы в шляпе, Наполеона – и два силуэта краснокожих индейцев.

ЗАДАЧА № 95 Где ошибка?

На таблице 86-й собраны такие танграммные силуэты: бегущий мужчина, бегущая женщина, галстук, мостик, рыба, лебедь, человек с чашей, молоток, наковальня; человек, заложивший руки за спину; лошадь, револьвер, рубашка, шапка, курица, гусь, поросенок, кресло, курительная трубка, кружка, могильный памятник.

Одна из этих фигур изображена здесь неправильно: в таком виде, как она нарисована, ее невозможно сложить из танграммов.

Укажите же эту единственную фигуру на нашей таблице, которая не может быть построена из танграммов.

Если вам удалось составить все или некоторые изображенные выше силуэты, ответьте на вопросы:

Какая из всех составленных вами фигур имеет самую большую площадь? Какая из них имеет наименьшую площадь?

Собранные на таблице 87-й силуэты изображают:

Женщину у зеркала, дом, мужскую фигуру, голову американца, горящую свечу, пожилую женщину, молодую худощавую женщину, кошку, журавля, автомобиль, зайца, страуса, кенгуру, сидячую фигуру, всадника на лошади, женщину с сумочкой, мужчину на коленях, граммофон, парусную яхту, голландскую девушку, паровоз с тендером, фигуру на коленях и кланяющегося мужчину.

Как составлены все эти фигуры?

ЗАДАЧА № 98 Размеры танграммов

Всмотритесь внимательнее в те 7 танграммных фигур, которые помогли вам составить так много разнообразных силуэтов, и пробуйте ответить на вопрос:

Во сколько раз площадь каждой танграммной фигурки меньше площади того квадрата, из которого они были вырезаны?

Вот два силуэта, сложенные из танграммов. Вы видите, что у одного силуэта есть нога, у другого нет. Между тем обе фигуры построены из одних тех же семи танграммов!

Откуда же взялась нога у правой фигуры? ЗАДАЧА № 100 Два квадрата из одного

Мне привезли из Китая маленькую квадратную коробочку с танграммами, уложенными в ней вплотную двумя слоями – каждый слой представлял собою квадрат. Следовательно, из 7 танграммов можно сложить не только один квадрат, но и два одинаковых.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 91-100

Решение задачи № 91

Рис. 89.

Решение задачи № 92

Решение задачи № 93

Решение задачи № 94

Способ сложения силуэтов показан на приложенных чертежах (рис. 92).

Решение задачи № 95

Все фигуры, изображенные на таблице 85-й, можно сложить из танграммов (см. таблицу 94-ю), – за исключением одной – лебедя. Здесь, на рис. 93-м показано, какие очертания имеет фигура лебедя, если ее правильно составить из танграммов.

Рис. 94.

Решение задачи № 96

Все силуэты имеют одинаковую площадь, так как составлены из одних и тех же частей. Как бы ни различались между собою силуэты, все они представляют собою видоизменения первоначального квадрата и, конечно, равны ему по площади.

Решение задачи № 98

Каждый из больших треугольников составляет по площади 1/4 квадрата; средний треугольник вдвое меньше и, следовательно, составляет 1/8 долю квадрата. Каждый из маленьких треугольников вдвое меньше среднего, и, значит, площадь каждого = 1/16 доле площади квадрата.

Параллелограмм и квадратик можно составить из двух маленьких треугольников; следовательно, каждая из этих фигур = 1/8 площади первоначального квадрата.

На прилагаемом чертеже 96-м показано, как составлены обе фигуры.

Первая, безногая фигура чуть-чуть толще второй, – именно на узкую полоску, отрезаемую линией АВ. Зато вторая фигура имеет ногу, и площадь этой «ноги» в точности равна упомянутой избыточной полоске.

Решение задачи № 100 Один из двух квадратов составляется двумя большими треугольниками. Сделав это, нетрудно уже из остальных 5 танграммов составить второй квадрат.

Вторая сотня головоломок

Предисловие

Выпущенный мною в 1915 году первый сборник головоломок для юных математиков («Веселые задачи») получил применение и распространение гораздо более обширные, чем можно было ожидать [9] . Успех первой книжки побудил меня наряду с ее переизданием, выпустить еще один сборник подобного же характера, чтобы дать юным любителям математики более обширное поле для изощрения своих способностей. Книжка эта лежит перед читателем. Несмотря на подзаголовок (вторая сотня головоломок), она не стоит в необходимой связи с первой. Это просто серия других упражнений, в общем не труднее и не легче предложенных в первом сборнике. Материал умышленно подобран здесь не однородный по трудности, чтобы каждый из юных читателей мог найти упражнения, соответствующие его силам. Значительная часть задач (около половины общего числа) придумана мною, большинство остальных принадлежит к мало использованным и в русском сборнике появляется впервые. Как и первая книжка, этот сборник не преследует учебных целей, а имеет лишь в виду приятной умственной гимнастикой изощрить сообразительность и тем подготовить юный ум к более серьезной работе в будущем [10] .

Я. П.

Глава I Задачи из «Путешествий Гулливера»

Рис. 1.

Самые удивительные страницы в «Путешествиях Гулливера по многим отдаленным странам» – без сомнения, те, где описаны его необычайные приключения в стране крошечных лилипутов и в стране великанов «бробдиньягов». В стране лилипутов размеры – высота, ширина, толщина – всех людей, животных, растений и вещей были в 12 раз меньше, чем у нас. В стране великанов, наоборот, – в 12 раз больше. Почему автор «Путешествий» избрал именно число 12, легко понять, если вспомнить, что это как раз отношение фута к дюйму (автор «Путешествий» – англичанин). В 12 раз меньше, в 12 раз больше – как будто не очень значительное уменьшение или увеличение. Однако отличие природы и жизни в этих фантастических странах от тех, к каким мы привыкли, оказалось поразительным. Зачастую различие это настолько озадачивает своей неожиданностью, что дает материал для головоломной задачи. Десяток подобных головоломок мы и хотим здесь предложить читателям. ЗАДАЧА № 1 Паек и обед Гулливера

Лилипуты, – читаем мы в «Путешествиях», – установили для Гулливера следующую норму отпуска пищевых продуктов: