Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр Страница 16

Предположим теперь, что тот, кто спрашивает, относится к типу В. Тогда правильным ответом на его вопрос будет «нет», а это означает, что он не может спросить, имеется ли на острове волшебник. Далее, если бы на острове волшебника не было, то человек, задавший подобный вопрос (так как он принадлежит к типу В), вполне мог бы спросить, имеется ли на острове волшебник (поскольку правильным ответом в таком случае являлось бы «нет»). Однако поскольку островитянин не может (как мы убедились) задать этот вопрос, то отсюда следует, что на острове действительно должен быть волшебник. Тем самым доказано, что если человек, задающий вопрос, принадлежит к типу В, то на острове имеется волшебник. Итак, независимо от того, принадлежит спрашивающий к типу А или к типу В, на острове обязательно должен оказаться волшебник.

15. Конечно же, нет!

16. Единственный вывод, который можно сделать, — это то, что Бернард Грин не является волшебником (на основании тех же рассуждений, что и при решении задачи 14).

17. Единственный вывод, который можно сделать, — это то, что волшебник принадлежит к людям, которые могли бы спросить, волшебник ли Чарлз Мэнсфилд.

(Напомним, что, как мы выяснили при решении задачи 11, в случае, если островитянин спрашивает: «Принадлежу ли я к людям, которые могли бы спросить, имеет ли место какое-либо утверждение?», то это утверждение обязательно должно оказаться истиной.)

18. Все, что мы можем сказать, — это то, что Дэниел Мотт не является волшебником (потому что волшебник не может спросить, относится ли он сам к типу В; ведь на самом деле никто не может спросить, относится ли он к типу В).

19. Из того, что Эдвин Друд спрашивает сам по себе, невозможно заключить, кто же является волшебником. Но если использовать не только его вопрос, но и ранее заданные вопросы, то задача становится вполне разрешимой!

Прежде всего из вопроса Эдвина Друда следует, что волшебник должен принадлежать к типу А. В самом деле, предположим, например, что Эдвин относится к типу А; тогда правильным ответом на его вопрос будет «да». Поэтому и он, и волшебник фактически должны принадлежать к одному и тому же типу, а значит, волшебник тоже должен относиться к типу А. С другой стороны, предположим, что Эдвин относится к типу В. Тогда правильным ответом на его вопрос окажется «нет», откуда следует, что волшебник не может принадлежать к тому же типу, что и Эдвин. Но поскольку Эдвин относится к типу В, а волшебник к этому типу не принадлежит, то волшебник опять-таки должен относиться к типу А. Итак, мы доказали, что волшебник принадлежит к типу А. Далее, как мы установили при решении задачи 17, волшебник вполне мог бы спросить, не является ли волшебником Чарльз Мэнсфилд. Но поскольку волшебник принадлежит к типу А, то правильным ответом на этот вопрос является «да». Следовательно, волшебником должен быть Чарльз Мэнсфилд!

Призовая задача. Я уже рассказывал вам, что Арнольд, Томас и Уильям в конце концов единодушно согласились с тем, что жизнь вне стен лечебницы для душевнобольных оказалась еще более безумной, чем в чем в ней самой. Поэтому так как Томас согласен с Арнольдом и Уильямом, которые лишены рассудка, то и сам Томас также должен оказаться безумным.

Остров Сновидений

Однажды мне приснился необычный остров под названием остров Сновидений. Жители этого острова видят очень яркие сны; при этом во время сна их мысли столь же отчетливы, как и наяву. Более того, их жизнь во сне в дневное время течет точно так же, как жизнь наяву в течение ночи. В результате некоторые островитяне подчас никак не могут сообразить, спят они в данный момент или бодрствуют.

К тому же оказывается, что все жители острова делятся на две категории: они бывают дневного и ночного типа. Отличительная особенность островитянина дневного типа состоит в следующем: все то, во что он верит во время своего бодрствования, является истинным, а все то, о чем он думает, пока спит, оказывается ложным. Обитатель же острова, относящийся к ночному типу, представляет собой полную его противоположность: все то, в чем убежден такой островитянин, пока он спит, является истинным, а все то, во что он верит во время своего бодрствования, оказывается ложным.

1. Как-то один из островитян решил, что он относится к дневному типу. Можно ли как-нибудь проверить, было ли его убеждение правильным? Возможно ли определить, бодрствовал он в этот период или спал?

2. В другом случае один островитянин посчитал, будто он в данный момент спит. Можно ли проверить правильность его суждения? Можно ли определить, к какому он типу принадлежит?

3. а) Верно ли, что мнение островитянина по поводу того, относится ли он к дневному, или ночному типу, никогда не меняется?

б) Верно ли, что представление островитянина о том, бодрствует ли он в данный момент или спит, никогда не меняется?

4. Как-то одна из жительниц острова решила, что она либо спит, либо относится к ночному типу, либо имеет место и то и другое сразу. («Либо» в данном случае означает по крайней мере одну или, быть может, обе возможности.)

Можем ли мы определить, спала она или бодрствовала в данный момент? Можем ли мы также выяснить, к какому типу принадлежит эта обитательница острова?

5. Как-то один островитянин посчитал, будто он спит и относится к дневному типу. Что можно сказать о нем на самом деле?

6. На острове живет супружеская пара по фамилии Калп. В какой-то момент мистер Калп счел, что он вместе со своей женой принадлежит к ночному типу. В то же самое время миссис Калп сочла, что оба они не принадлежат к ночному типу. При этом оказалось, что один из них в этот момент бодрствовал, а другой спал.

Кто же из них бодрствовал?

7. На острове живет еще одна супружеская пара по фамилии Байрон. Один из супругов принадлежит к ночному типу, а другой — к дневному. В какой-то момент жена Байрона сочла, что они оба либо бодрствуют, либо спят одновременно. В тот же момент ее муж счел, что это не так.

Кто из них был прав?

8. А вот особенно интересный случай: как-то раз один островитянин по имени Эдвард подумал с удивлением, что он и его сестра Элейн принадлежат к ночному типу, и в то же время — будто он сам к ночному типу не относится.

Как это могло случиться? Принадлежит Эдвард к ночному или дневному типу? А к какому типу относится его сестра? Спал Эдвард в этот момент или бодрствовал?

9. Королевская семья.

На острове Сновидений есть король, королева и принцесса. Однажды принцесса подумала, что ее родители принадлежат к разным типам. Спустя 12 часов состояние ее изменилось (то ли она проснулась, то ли заснула), и тогда она решила, что ее отец относится к дневному типу, а мать—к ночному.

К какому типу принадлежит король, и к какому типу — королева?

10. А что думаете вы по поводу колдуна? Ясно, что на таком острове никак нельзя обойтись без чародея, волшебника, колдуна или еще кого-нибудь в том же духе. Оказывается, на острове действительно имеется колдун и притом только один. А теперь позвольте предложить вам крайне любопытную задачку, связанную с этим колдуном.

Как-то раз один островитянин по имени Орк размышлял о том, не является ли он сам колдуном. В конце концов Орк пришел к выводу, что если он принадлежит к дневному типу и в этот момент бодрствует, то именно он должен быть колдуном. В то же самое время другой островитянин по имени Борк заключил, что если он либо принадлежит к дневному типу и бодрствует, либо принадлежит к ночному типу и спит, то он (Борк) и есть колдун. Далее выяснилось, что Орк и Борк в это время либо оба одновременно спали, либо бодрствовали.

К какому типу принадлежит колдун — к дневному или ночному?

11. Метаголоволомка.

Однажды я предложил своему приятелю следующую задачу об этом острове:

— Один островитянин в свое время полагал, будто он принадлежит к дневному типу и бодрствует. Кто он на самом деле?

Приятель подумал немного и затем ответил:

— По-моему, этих сведений явно недостаточно, чтобы сказать что-либо определенное.

Разумеется, мой друг был абсолютно прав! Но потом он спросил меня:

— А сам-то ты знаешь, к какому типу он относился и спал он в тот момент или бодрствовал?

— Ну, конечно, — ответил я. — Как раз я хорошо знаком с этим островитянином и прекрасно знаю, к какому типу он принадлежит и в каком состоянии он в то время находился.

Тогда мой приятель задал мне весьма хитроумный вопрос:

— А скажи, если бы ты мне сообщил, к какому типу он принадлежит, было бы у меня достаточно информации, чтобы узнать, спал он или бодрствовал в тот момент?

Я сказал ему правду (то есть ответил «да» или «нет»), и он тут же сумел решить задачу.