Апология математики (сборник статей) - Владимир Андреевич Успенский Страница 17

в «джентльменский набор» математических фактов нам представляется знание того, почему треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским. (Пусть даже нас упрекнут в непоследовательности, ведь раньше мы настойчиво подчёркивали, что в данном очерке речь пойдет о непрактических, неприкладных аспектах математики.) А всё дело в том, что древнеегипетским строителям пирамид нужен был простой и надёжный способ построения прямого угла. И вот как они это делали. Верёвку разбивали на 12 равных частей, пометив границы между соседними частями; концы верёвки соединяли. Затем три человека натягивали верёвку так, чтобы она образовала треугольник, причём расстояния между каждыми двумя людьми, натягивающими верёвку, составляли соответственно 3 части, 4 части и 5 частей. Получался прямоугольный треугольник с катетами в 3 и 4 части и гипотенузой в 5 частей. Естественно, прямым был угол между сторонами в 3 и 4 части. Как известно, древнеегипетских землемеров, которые, помимо измерения земельных участков, занимались построениями на местности, греческие писатели называли гарпедонаптами (что буквально означает «натягивающие верёвки»). Гарпедонапты занимали третье место в жреческой иерархии Древнего Египта.

Но почему треугольник со сторонами 3, 4, 5 окажется прямоугольным? Боюсь, пытаясь ответить на этот вопрос, большинство читателей сошлётся на теорему Пифагора: ведь три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате. Однако теорема Пифагора утверждает, что если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей. Здесь же используется теорема, обратная к теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то тогда треугольник – прямоугольный. (Не уверен, что эта обратная теорема занимает должное место в школьной программе.)

В начале данной главы мы упоминали, что рискуем навлечь на себя упрек в непоследовательности, поскольку, обещав говорить о неутилитарном аспекте математики, сразу же перешли к её практическому применению. Однако эта непоследовательность кажущаяся, потому что описанное практическое приложение обратной теоремы Пифагора принадлежит далёкому прошлому. Едва ли кто-либо строит прямые углы указанным способом сегодня. Он переместился из мира практики в мир идей, подобно тому как многое из материальной культуры прошлого вошло в духовную культуру настоящего.

Тему египетского треугольника можно подразделить на три подтемы: прямой угол, треугольник и равенство 3² + 4² = 5². В каждой из этих подтем усматриваются элементы, относящиеся к тому, что автор этих строк понимает под общечеловеческой культурой. Подкрепим сказанное примерами.

Сперва о понятии «прямой угол». Оно может быть использовано для интеллектуального обогащения. Поставим такую задачу: объяснить, какой угол называется прямым, но не на визуальных примерах, а вербально, например по телефону. Вот решение. Попросите собеседника мысленно взять две жерди, соединить их крест-накрест и заметить, что в точке соединения сходятся четыре угла; если эти углы равны друг другу, каждый из них и называют прямым. «При чем тут духовная культура, если речь идёт о жердях?!» – возмутится критически настроенный читатель. Но суть здесь, конечно же, не в жердях, а в опыте вербального определения одних понятий через другие. Такой опыт поучителен и полезен, а возможно, что и необходим. Математика вообще удобный полигон для оттачивания искусства объяснения. Адресата объяснений следует при этом представлять себе тем внимающим афинскому софисту любопытным скифом, о котором писал Пушкин в послании «К вельможе». Объяснение признаётся успешным, если есть надежда, что любопытный скиф его поймёт. Кстати, если скиф окажется не только любопытным, но и глубокомысленным, он заявит, что ему непонятно, какие углы называются равными, а непонятно потому, что каждая сущность может быть равной только сама себе. И в этом мы согласны со скифом. Ведь когда говорят, скажем, о равенстве людей, то всегда прибавляют (хотя бы мысленно), в чем они равны. Вспомним, например, первую фразу 1-й статьи Всеобщей декларации прав человека: «Все люди рождаются свободными и равными в своём достоинстве и правах». Поэтому скиф вправе требовать разъяснений. Вербальные разъяснения здесь таковы: имеется в виду равенство угловых размеров углов, но поскольку неизвестно, что такое угловой размер, то равенство углов понимается как возможность их совпадения при перемещении. («А как же они могут совпасть, если все четыре расстояния от точки пересечения до конца жерди различны?» – не унимается скиф. Продолжить беседу с ним предоставляем читателю.)

Теперь – пример, относящийся к треугольникам. Речь пойдёт о триангуляции. Триангуляция – это сеть примыкающих друг к другу, наподобие паркетин, треугольников различного вида; при этом существенно, что примыкают лишь целые стороны, так что вершина одного треугольника не может лежать внутри стороны другого. Триангуляции сыграли важнейшую роль в определении расстояний на земной поверхности, а тем самым – и в определении фигуры Земли.

Потребность в измерении больших, в сотни километров, расстояний – как на суше, так и на море – появилась ещё в древние времена. Капитаны судов, как известно из детских книг, меряют расстояния числом выкуренных трубок. Близок к этому метод, применявшийся во II в. до н. э. знаменитым древнегреческим философом, математиком и астрономом Посидонием, учителем Цицерона: морские расстояния Посидоний измерял длительностью плавания (с учётом, разумеется, скорости судна). Но ещё раньше, в III в. до н. э., другой знаменитый древний грек, заведовавший Александрийской библиотекой математик и астроном Эратосфен, измерял сухопутные расстояния по скорости и времени движения торговых караванов. Можно предполагать, что именно так Эратосфен измерил расстояние между Александрией и Сиеной, которая сейчас называется Асуаном (если смотреть по современной карте, получается примерно 850 км). Это расстояние было для него чрезвычайно важным. Эратосфен хотел измерить длину меридиана и считал, что эти два египетских города лежат на одном и том же меридиане; хотя это в действительности не совсем так, но близко к истине. Найденное расстояние он принял за длину дуги меридиана. Соединив эту длину с наблюдением полуденных высот солнца над горизонтом в Александрии и Сиене, он далее путём изящных геометрических рассуждений вычислил длину всего меридиана и, как следствие, радиус земного шара.

Ещё в XVI в. расстояние (примерно 100 км) между Парижем и Амьеном определялось при помощи счёта оборотов колеса экипажа. Приблизительность результатов подобных измерений очевидна. Но уже в следующем столетии голландский математик, оптик и астроном Снеллиус изобрёл излагаемый ниже метод триангуляции и с его помощью в 1615–1617 гг. измерил дугу меридиана, имеющую угловой размер 1°11′30''.

Посмотрим, как триангуляция позволяет определять расстояния. Сперва выбирают какой-нибудь участок земной поверхности, включающий в себя оба пункта, расстояние между которыми хотят найти, и доступный для проведения измерительных работ на местности. Этот участок триангулируют, т. е. покрывают сетью треугольников, образующих триангуляцию. Затем выбирают один из треугольников триангуляции; будем называть его начальным. Далее выбирают одну из сторон начального треугольника. Она объявляется базой, и её длину тщательно измеряют. В вершинах начального