Роза Мария Рос - Мир математики. т.30. Музыка сфер. Астрономия и математика Страница 19

где β — угол между линией, указывающей 12 часов, и искомой часовой линией,

Н = 15°, 30°, 45°…, соответственно, согласно следующей иллюстрации:

Спроецировав часовые линии экваториальных солнечных часов на вертикальную плоскость, направленную вдоль линии запад — восток, получим линии циферблата новых часов. Нужно всего лишь учесть, что tg β = СА/АО, tg H = СА/АВ, sin (90° — ф) = АВ/АО, откуда следует, что tg β = tg Н соs ф. При Н = 15° β будет углом, под которым расположена часовая линия, указывающая 11 и 13 часов. При Н = 30° угол β укажет расположение часовой линии 10 и 14 часов и так далее до линии 6 и 18 часов.

Однако стены большинства домов не направлены вдоль линии запад — восток, а образуют с этой линией некоторый угол, который можно точно измерить. В этом случае разметка циферблата заметно усложняется. Необходимые для этого тригонометрические расчеты приведены в приложении.

Солнечные часы иногда используют в качестве календаря, и тогда они указывают не только час, но и примерный день месяца. Это возможно благодаря тому, что Солнце в разные дни расположено на разной высоте над горизонтом и летом оно находится намного выше, чем зимой. Мы можем определить месяц года по зодиакальным линиям, которые представляют собой конические сечения. Но прежде чем рассказать, как эти сечения строятся, вкратце рассмотрим, как Солнце движется по орбите в течение года.

Почему меняются времена года

Земля движется вокруг Солнца в так называемой плоскости эклиптики. Ось вращения Земли наклонена на 23,5° относительно перпендикуляра к этой плоскости. Именно наклон оси вращения Земли является причиной смены времен года, так как в разное время года Солнце при наблюдении с Земли находится на разной высоте над горизонтом. Экватор образует с плоскостью эклиптики угол, равный ±23,5°.

На рисунке показано, что в день летнего солнцестояния в Северном полушарии высота Солнца над экватором равна 23,3° относительно эклиптики. Этот же день будет днем зимнего солнцестояния в Южном полушарии. И напротив, в день зимнего солнцестояния в Северном полушарии Солнце находится ниже всего над горизонтом — его склонение относительно экватора равно —23,5°. Этот же день будет днем летнего солнцестояния в Южном полушарии. В день осеннего и весеннего равноденствия склонение Солнца относительно экватора будет равно 0°.

Таким образом, экватор образует с плоскостью эклиптики угол в ±23,5°. Именно наличие этого угла является причиной смены времен года.

* * *

СХЕМА КАРМАННЫХ СОЛНЕЧНЫХ ЧАСОВ

Линии циферблата горизонтальных или вертикальных солнечных часов строятся как проекции соответствующих часовых линий экваториальных часов. При построении нужно всего лишь учесть широту точки, в которой находятся часы. Далее мы рассмотрим описанную выше проекцию графически и попробуем сконструировать карманные солнечные часы, объединяющие горизонтальный и вертикальный тип циферблата. Вначале определим размеры часов. Построим окружность радиуса z и отметим на ней линии, которые будут указывать часы (от 6 до 18), отстоящие друг от друга на 15°. Размеры горизонтальных и вертикальных часов можно определить, взглянув на рисунок на стр. 105. Для этого достаточно рассмотреть прямоугольные треугольники, определяемые осью вращения Земли и плоскостью экватора, а также использовать определение синуса и косинуса для угла, указывающего широту. Так, длина часовой линии, указывающей 12 часов на горизонтальных часах, будет равна z/sin ф. Длина часовой линии, указывающей 12 часов на вертикальных часах, будет равна z/cos ф. Сначала разметим циферблат горизонтальных часов. Отметим на часовой линии, указывающей 12 часов, отрезок длиной z/sin ф, который укажет размеры циферблата горизонтальных часов. Так как линии, указывающие часы, должны быть одинаковы, продолжим линии циферблата горизонтальных часов и определим точки их пересечения с линией, перпендикулярной линии север — юг (линии 12 часов).

Соотношения между размерами циферблатов экваториальных и горизонтальных часов (слева) и экваториальных и вертикальных часов (справа).

Наконец, перенесем циферблаты вертикальных и горизонтальных часов на две дощечки, скрепленные клейкой лентой или небольшими дверными петлями (в этом случае потребуется учесть толщину петель). Закрепим на концах линий, указывающих часы, два конца веревки так, чтобы под прямым углом друг к другу находились линии, указывающие 12 часов на вертикальном и горизонтальном циферблате. Чтобы правильно скрепить все детали и привязать веревку, понадобится помощник.

Веревка будет играть роль гномона. Важно, чтобы после закрепления ее концов циферблаты часов были перпендикулярны.

Чтобы использовать эти часы, необходимо расположить их так, чтобы линия, указывающая 12 часов на горизонтальном циферблате, была направлена точно вдоль линии север — юг. Для этого часы обычно дополняют компасом. Будет удобно закрепить на часах уровень или небольшой отвес, чтобы циферблат горизонтальных часов располагался строго горизонтально. Также можно наклонять часы до тех пор, пока оба циферблата не покажут одинаковое время.

* * *

Чем выше Солнце над горизонтом, тем ближе к перпендикуляру будут падать его лучи. Следовательно, излучение в пересчете на квадратный метр земной поверхности будет выше.

Следует отметить, что поверхность, на которую попадает солнечное излучение в соответствующем полушарии, летом больше, чем зимой. А поскольку Солнце находится выше над горизонтом, световой день становится длиннее.

Солнце движется вдоль небесного экватора лишь в дни весеннего и осеннего равноденствия, когда длительность дня и ночи одинакова в обоих полушариях. Движение Солнца по небу изображено на рисунке так, как оно выглядит в Северном полушарии.

* * *

ГОРОДСКИЕ ЛЕГЕНДЫ

Существует множество теорий, связанных с астрономией, которые можно назвать городскими легендами. Одна из этих теорий гласит, что солнце восходит на востоке, но это не всегда верно: солнце восходит точно на востоке и заходит точно на западе всего два дня в году — в день весеннего и осеннего равноденствия. В остальные дни солнце восходит в разных точках между юго-востоком и северо-востоком и заходит между юго-западом и северо-западом.

Согласно еще одной популярной легенде, летом Земля получает больше тепла, так как находится ближе к Солнцу. На самом деле орбита Земли представляет собой эллипс с очень маленьким, почти нулевым эксцентриситетом, то есть по форме она близка к окружности. Кроме того, почему при одинаковом расстоянии до Солнца в Северном полушарии наступает лето, а в Южном — зима? И при этом лето в Северном полушарии наступает тогда, когда Земля находится дальше всего от Солнца. Как мы уже отмечали, смена времен года объясняется наклоном оси вращения Земли относительно плоскости ее орбиты.

* * *

Зодиакальные линии и конические сечения

В течение года Солнце находится на разной высоте над горизонтом (его склонение изменяется), и эту информацию можно использовать в солнечных часах для определения времени года. К примеру, тень гномона горизонтальных солнечных часов летом будет короче, чем зимой, потому что летом Солнце стоит выше над горизонтом.

В вертикальных солнечных часах тень гномона, напротив, будет тем длиннее, чем выше Солнце над горизонтом.

На циферблатах солнечных часов иногда изображают линию, которую описывает конец тени в разные дни. Так как построить эту линию для всех дней невозможно, ее обычно изображают только для четырех первых дней каждого сезона. Так, в Северном полушарии на циферблатах солнечных часов изображают следующие линии: линия 21 марта, первого дня весны (здесь рассматриваются астрономические времена года, которые отсчитываются от дней солнцестояния и равноденствия), когда Солнце находится в созвездии Овна; 21 июня — первый день лета, когда Солнце находится в созвездии Рака; 23 сентября — первый день осени, день осеннего равноденствия, когда Солнце находится в созвездии Весов, и 21 декабря, когда Солнце находится в созвездии Козерога. Следует отметить, что эти дни указаны лишь приближенно, день, когда Солнце входит в созвездие Овна, для каждого года рассчитывается отдельно. В Южном полушарии в первый день лета Солнце находится в созвездии Козерога, в первый день зимы — в созвездии Рака.