Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир Страница 30

Но есть одна вещь, от которой подобная деформация избавиться не может — это свойственная кругу и квадрату замкнутость линии границы127. Обе фигуры ограничены замкнутыми кривыми. Это их общая тополо­гическая сущность.

Подобно этому сущность ленты Мебиуса заключается в ее скрученности на пол-оборота, обеспечивающей форме ее особые свойства. Самое замечательное, что лента Мебиуса имеет только одну сторону и только один край. Другими словами, ее лицевая и обратная поверхности в действительности являются одним и тем же, так же как и ее верхний и нижний край. (Чтобы проверить это, просто ведите пальцем по середине ленты, пока не вернетесь в исходное положение.) Здесь благодаря полуобороту верхний и нижний край бумаги объединились в одну большую непрерывную кривую. Подобным образом объединились и обе стороны. Когда лента склеена, эти ее свойства фиксируются. Готовую ленту Мебиуса можно растягивать и скручивать, уже ничто не изменит того, что у нее одна сторона и один край.

Предложив первоклассникам исследовать вытекающие из этого удивительные свойства ленты Мебиуса, я хотел им продемонстрировать, насколько это интересно и увлекательно.

Сначала я попросил их взять карандаш и аккуратно провести линию посередине ленты. И они сосредоточенно стали рисовать нечто наподобие показанного здесь пунктира.

Сделав один оборот, они остановились, озадаченно переглядываясь. Потом стали шумно обсуждать, почему их линии не замкнулись, как ожидалось. Карандашная линия не вернулась в исходную точку, а оказалась на «другой» стороне поверхности. Это и был первый сюрприз: необходимо дважды пройти по ленте Мебиуса, чтобы добраться до исходной точки.

Внезапно один мальчик расплакался. Когда он обнаружил, что его карандаш не вернулся в исходное положение, он подумал, что сделал что-то не так. Сколько мы его ни убеждали, что он ничего не напутал и именно так и должно получиться, надо было просто пройти еще один круг, оказалось, уже поздно. Валяясь на полу, ребенок безутешно рыдал.

С некоторой опаской я предложил классу сделать еще одно дело — взять ножницы и разрезать ленту по всей длине по средней линии. «Как думаете, что выйдет в результате?» — спросил я у них.

«Они распадутся! Получится две части!» — предположили малыши. Но когда они попробовали, вышло нечто абсолютно невероятное (одна лента двойной длины), и возгласы радости и удивления стали еще громче. Это напоминало какой-то фокус.

После этого внимание ребят уже было сложно удержать. Они полностью увлеклись собственными экспериментами, изготавливая всевозможные варианты лент Мебиуса, закрученные на два или три полуоборота, разрезая их на две, три или четыре части, создавая всевозможные скрученные петли, цепочки и узлы, причем все это сопровождалось возгласами: «Смотрите, что у меня получилось!» А я все не мог успокоить плачущего мальчугана. Полагаю, мой урок не первый довел кого-то из учеников до слез.

Виктория Харт была настолько разочарована унылыми вузовскими курсами математики, что стала прямо в классе заниматься всякими глупостями, рисуя змей, деревья и растянутых слонов и не слушая монотонно бубнившего учителя. Ви Харт, называющая себя «развлекательным матемузыкантом на полной занятости», разместила свои каракули на YouTube и вмиг стала знаменитой. Они были просмотрены сотни тысяч раз, а в случае со слонами — более миллиона. Сама Вики и ее видеоклипы совершенно захватывающие128.

Два из моих любимых свойств ленты Мебиуса связаны с музыкой и историями Виктории. Самое непостижимое из них — «Музыкальная шкатулка Мебиуса», проигрывающая отрывок из мелодии Ви, навеянной книжками про Гарри Поттера.

Эта мелодия закодирована в серию отверстий, пробитых в перфоленте, которые затем подаются в обычную музыкальную шкатулку. Изобретение Ви состоит в том, что она скрутила концы ленты и склеила их в виде ленты Мебиуса. Вращая ручку музыкальной шкатулки, Ви прогоняла через нее ленту, и мелодия звучала как обычно. Но примерно через пятьдесят секунд (в ее видеоклипе) петля делала один оборот, и, поскольку это была лента Мебиуса, закрученная на пол-оборота, музыкальная шкатулка начинала воспроизводить мелодию, как если бы она была записана на обороте ленты, то есть в перевернутом виде. Та же мелодия повторялась, только теперь перевернутая. Высокие ноты становились низкими, а низкие — высокими. Они играются в том же порядке, но в перевернутом виде, из-за перекрученности ленты Мебиуса.

Еще более потрясающий пример «перевернутого» применения ленты Мебиуса — это «История ленты Мебиуса: Винди и мистер Уг», горько-сладкая притча о недоступной любви. Маленькая приветливая треуголочка по имени Винди, нарисованная стирающимся маркером, живет в плоском мире из прозрачного целлулоида в форме ленты Мебиуса. Она страдает от одиночества и не теряет надежды встретить единственного обитателя своей вселенной — загадочного джентльмена Уга, живущего внизу. Она никогда его не видела: он почему-то всегда отсутствует, когда она останавливается у его дома. Но ей все равно очень нравятся письма, которые он ей пишет, и она все же надеется на встречу.

Предупреждение: пропустите следующий абзац, если не хотите узнать секрет этой истории.

Мистера Уга не существует. Винди — это и есть мистер Уг, только перевернутый вверх тормашками и расположенный на обратной стороне прозрачной ленты Мебиуса. Так получается потому, что Ви хитрым способом печатает буквы и заставляет мир при перекручивании пленки переворачиваться. При этом, когда имя Винди, ее дом или сообщения проходят один раз вокруг ленты Мебиуса и переворачиваются, оказывается, что все они относятся к мистеру Угу.

Мое описание не заменит видео. Вам следует посмотреть его, и вы будете поражены изобретательностью Ви в отношении сочетания уникальной любовной истории с яркими иллюстрациями свойств ленты Мебиуса.

Многие художники также черпали вдохновение в потрясающих свойствах ленты Мебиуса129. Эшер использовал их, рисуя муравьев на бесконечной петле. В работах скульпторов и каменотесов, например Макса Билла и Кейзо Ушио, тоже прослеживается мотив ленты Мебиуса.

Вероятно, самая монументальная из всех мебиусоподобных структур — это архитектура Национальной библиотеки Казахстана130. Ее проект, созданный датским архитектурным бюро BIG, напоминает спиральные завитки, которые изгибаются вверх-вниз, как в юрте, где «стены становятся крышей, крыша полом, а пол снова стенами».

Свойства ленты Мебиуса дают простор для творчества не только дизайнерам, но и инженерам. Например, лента для записи в виде ленты Мебиуса обладает двойным временем воспроизведения.

Компания BFGoodrich запатентовала конвейерную ленту Мебиуса, которая служит вдвое дольше обычной, поскольку одинаково изнашивается с «обеих» сторон. Другие патенты на тему ленты Мебиуса связаны с новыми конструкциями конденсаторов, хирургических ретракторов и самоочищающихся фильтров для химчистки131.

Вероятно, самая хитрая область применения топологии та, где лента Мебиуса вообще не используется. Такие вариации на тему кручений и связей могут оказаться полезны в случае, если к вам на завтрак нагрянут гости. Это изобретение Джорджа Харта, папы Ви. Он геометр и скульптор, а в прошлом — преподаватель информатики в университете Стони Брука и куратор музея математики в Нью-Йорке. Джордж придумал, как разрезать бублик пополам так, чтобы две половинки остались сцепленными, как звенья цепи132.

Преимущество этого изобретения в том, что можно не только развлечь гостей, но и получить дополнительную площадь для намазывания сливочным сыром.

28. Мысли глобально

Появление наиболее известных идей геометрии обусловлено тем, что древние видели мир плоским133. В геометрических утверждениях, от леммы о параллельных прямых до теоремы Пифагора, прослеживаются вечные истины о некоем воображаемом двумерном ландшафте плоской геометрии.

Задуманная в Индии, Китае, Египте и Вавилоне более 2500 лет назад, систематизированная и уточненная Евклидом и древними греками, эта геометрия, построенная на представлении о плоской Земле, — основная (и зачастую единственная), которой сегодня учат в старших классах средней школы. Но ведь за последние несколько тысячелетий многое изменилось.

В эпоху глобализации, интернета и межконтинентальных воздушных путешествий всем необходимо иметь представление о сферической геометрии и ее современном обобщении, дифференциальной геометрии134. Основным идеям последней около 200 лет. Своим возникновением она обязана Карлу Гауссу и Бернхарду Риману. Дифференциальная геометрия подводит фундамент под такое величественное интеллектуальное здание, как общая теория относительности Эйнштейна. В ее основе лежат красивые концепции, и они могут быть постигнуты каждым, кто когда-либо ездил на велосипеде, смотрел на глобус или растягивал резиновый шнур. Их понимание поможет вам разобраться в нескольких курьезах, которые вы могли заметить во время своих путешествий.