Владимир Живетин - Методы и средства обеспечения безопасности полета Страница 9

При этом проценты П(·) являются функциями вероятностей Р2 риска аварий и катастроф, т. е. П(·) = П(Р2; t). В результате для создания математической модели расчета П(Р2; t) необходимо построить модель расчета Р2, а затем модель процентной компенсации возможных потерь микроэкономической системы, зависящих от уровня риска материальных потерь при авариях и катастрофах самолета.

Поток финансовых средств (расходов δg), направленных на компенсацию депозитных средств, полученных, например, по договору лизинга, можно записать в виде

где δg(t – τ1) – поток средств в момент времени t – τ1, отданных микроэкономической системой; τ1 – время, за которое был проведен расчет с инвестором; Пg(t – τ1) – процентная ставка по лизингу (депозиту), назначенная инвестором или оговоренная в договоре лизинга.

Этот процесс, как правило, не управляем во времени. Однако в общем случае проценты по договору лизинга могут быть оговорены и являться функцией времени t. Время τ1 – время, в течение которого запланирована выплата стоимости самолета.

Система уравнений (1.3)÷(1.8) описывает баланс финансовых потоков в микроэкономической системе, включающей самолет и объекты, организующие и обслуживающие его эксплуатацию, в процессе которой осуществляются пассажиро- или грузоперевозки.

Мы получили детерминированную динамическую модель микроавиационной системы, позволяющую прогнозировать ее поведение во времени, оценивать эффективность ее функционирования, т. е. выполнять режимы, в которых имеют место прибыль или убытки. Последние возникают под воздействием управляющих воздействий, к которым отнесем:

– проценты П(·);

– вероятности Р2 катастрофы, аварии;

– динамические свойства изучаемой микроавиационной системы;

– внедрение новых методов и средств, увеличивающих пассажиропоток и уменьшающих расходные средства организации полетов.

Динамические свойства системы проявляются, прежде всего, в потоке поступления, через величину τ. При этом чистое запаздывание τ – время, в течение которого реализуются вложенные средства и возвращаются в систему. Величина τ зависит от регулярности полетов и увеличивается, если самолет вынужден откладывать полеты, например, по погодным условиям. Кроме этого τ зависит от технических средств обслуживания в аэропорту, времени или скорости полета.

Применение полученной модели для анализа и прогнозирования эффективности функционирования микроавиационной системы начнем с приведения ее к простейшему линеаризованному виду.

1.3.3. Линейная технико-экономическая система второго порядка

Получить аналитическое решение данной нелинейной системы уравнений с запаздывающим аргументом невозможно. Это делает невозможным аналитический анализ функционирования микроавиационной системы, включая отыскание совокупности управляемых параметров, при которых она прибыльная или убыточная. Чтобы преодолеть данную трудность, введем упрощающие допущения (предположения). Начнем изучение системы на примере простейших моделей. Затем перейдем к более сложным.

Первое допущение: поток расходов δe пропорционален объему финансовых средств микроавиационной системы, т. е. D(t). В этом случае имеет место равенство D = τDδe(t). Это допущение принципиальное, так как переводит нелинейное уравнение (1.3) в разряд линейных. При этом, предполагая, что τD = const – коэффициент (размерность – время), характеризующий возможности реализации финансовых средств системой во времени, получим . Тогда первое уравнение в системе (1.3) запишется в виде

где δe0 = D0/τD – начальное значение δe(t) при t = t0.

При этом τD, имея размерность времени, характеризует инерционное запаздывание потока расходов δe(t) по отношению к потоку поступления δn(t). Введение инерционного запаздывания τD является параметризацией процесса, при котором сложная зависимость между расходами и имеющимися финансовыми средствами сводится к определению одного параметра τD. При этом мы вносим погрешность, которую не можем оценить без дополнительных исследований системы, например, методами параметрической идентификации.

Второе допущение связано с устранением чистого запаздывания в функциональном уравнении (1.6). Однако такой переход связан с введением дополнительного дифференциального уравнения, что создает условия для новых погрешностей модели. При этом происходит замена чистого запаздывания на приближенное инерционное запаздывание. С целью такой замены в (1.6) введем обозначение s = t – τ, тогда получим

δn(s + τ) = δp(s)[1 + П*(s)].          (1.10)

Предположив, что функция δn(s + τ) дифференцируемая, разложим ее в ряд Тейлора по степеням τ. Следующее важное допущение: функция δn(s) линейная относительно s, т. е.

δ*ss = δ*sss = … = 0.

Данное предположение нуждается в уточнении.

С учетом принятого допущения, имеет место следующая аппроксимация:

Дадим геометрическую интерпретацию записанного соотношения (1.11). На рис. 1.16 приведены известные понятия производной от функции δn(s). В точке s = t – τ имеет место δn(s) = 0 от кредита, выданного на время τ в момент времени t – τ = s. Мы вычисляем δn(t), т. е. δn в момент возврата кредита. В силу сказанного, из (1.12) следует

Рис. 1.16

так как δn(s) = 0. Здесь используется основное допущение, принятое выше, о дифференцируемости функции δn(t). В рамках данной модели мы находимся в дискретном пространстве. Переход к непрерывному множеству – очередное допущение, которое необходимо анализировать с позиции погрешностей итогового результата, например, при параметрической идентификации.

Подставив (1.11) в (1.10), заменяя s на t в силу произвольности s, получим

В общем случае нелинейная зависимость δn(s+τ) заменена линейной δn(s), а чистое запаздывание τ, свойственное системе, заменено на инерционное τk, свойственное динамической системе. Однако инерционное и чистое запаздывания не равны. При этом имеет место приближенное равенство

τ = 3τk,

которое следует из условия вхождения решения уравнения (1.13) в 5 %-ю полосу, т. е. совпадения.

В (1.13) выразим δp через δe, что позволит свести исходную систему к системе из двух уравнений с двумя неизвестными, т. е. замкнутую систему.

Поток δr(t), согласно (1.5), состоит из ряда слагаемых, которые представим в следующей форме:

δзп = γ1δe; δн = γ2δe; δос = γ3δe; δпр = γ4δe,

где γ1, γ2, γ3, γ4 определяют доли, которые составляют от δe потоки δs, δТ, δса, δo соответственно.

Следовательно δr(t) = γδe, где γ = γ1 + γ2 + γ3 + γ4. При этом часть δe, равная δp = (1 – γ)δe, идет на компенсацию депозита, т. е. δg(t) и создание услуг, которые еще не оплачены, т. е. в некотором смысле на кредит, выдаваемый пассажирам под проценты П*.

При этом неравенство δp > 0 будет характеризовать функционально-экономическую устойчивость системы, поскольку величина δр характеризует объем средств, вкладываемых в организацию и проведение пассажироперевозок. Из соотношения δp = (1 – γ)δe > 0 следует неравенство δe > 0, что также характеризует функционально-экономическую устойчивость.