Ричард Фейнман - 2. Пространство. Время. Движение Страница 18

Основываясь на своих первых наблюдениях, мы никоим обра­зом не смогли бы открыть фундаментальные атомные законы, поскольку наблюдения эти были слишком грубыми. Действи­тельно, фундаментальные атомные законы, которые мы назы­ваем квантовой механикой, так сильно отличаются от законов Ньютона, что понять их не просто. Ведь у нас есть только опыт обращения с телами больших размеров, а крохотные атомы ведут себя совершенно невиданным для таких тел образом. Мы не можем сказать: «Электроны в атомах напоминают планеты, крутящиеся вокруг Солнца», или что-то в этом роде. Они не похожи ни на что известное нам, ибо мы не видим ничего похо­жего на них. Если мы применяем квантовую механику ко все большим и большим объектам, то законы поведения такого кол­лектива атомов не воспроизводят поведения одного атома, а дают новый закон — закон Ньютона, который уже воспроизводит сам себя, начиная с объектов весом в 1 миллионную микрограмма, содержащих еще миллиарды и миллиарды атомов, и вплоть до тел величиной с Землю и даже еще больших.

Вернемся, однако, к центру масс. Часто его называют центром тяжести, так как во многих случаях для силы тяго­тения можно провести точно такие же рассуждения, как и для масс. Если размеры достаточно малы, то силу тяжести можно считать не только пропорциональной массе, но и направленной всюду параллельно некоторой фиксированной линии.

Возьмем тело, в котором сила тяжести действует на каждую из составляющих его частей, a mi — масса одной из этих частей. Действующая на нее сила тяжести будет тогда равна произведе­нию miна g. Возникает вопрос: в какой точке нужно приложить одну-единственную силу, чтобы сбалансировать притяже­ние всего тела так, чтобы оно (если это твердое тело) не вра­щалось? Ответ: сила должна проходить через центр масс. До­казывается это следующим образом. Чтобы тело не вращалось, сумма моментов всех сил должна быть равна нулю, ибо если нет момента сил, то нет и изменения момента количества дви­жения, а поэтому нет и вращения. Таким образом, мы должны подсчитать сумму всех моментов, действующих на все частицы, и посмотреть, какой получится полный момент относительно любой данной оси: он должен быть равен нулю, если ось про­ходит через центр масс. Направив ось х горизонтально, а ось у вертикально, мы найдем, что моменты сил равны силам, на­правленным вниз, умноженным на плечо х (т. е. сила на плечо относительно той оси, для которой измеряется момент силы). Полный же момент равен сумме

t=Smigxi=gSmixi. (19.3)

Чтобы полный момент отсутствовал, сумма Smixiдолжна быть равна нулю. Но эта сумма равна MX — полной массе, умно­женной на расстояние от оси х до центра масс. Итак, это рас­стояние должно быть равно нулю.

Разумеется, мы провели проверку только для x-направле­ния, однако если мы действительно взяли центр масс, то тело должно быть уравновешено в любом положении, поэтому, по­вернув его на 90°, мы вместо оси х получим ось у. Другими сло­вами, если держать тело за центр масс, то параллельное грави­тационное поле не дает никакого момента сил. Если же объект настолько велик, что становится существенной непараллель­ность сил притяжения, то точку, в которой должна быть при­ложена уравновешивающая сила, описать не просто: она несколько отклоняется от центра масс. Вот почему нужно пом­нить, что центр масс и центр тяжести — разные вещи. Тот факт, что тело, поддерживаемое точно за центр масс, уравновешено в любом положении, имеет еще одно интересное следствие. Если вместо гравитационных сил взять инерционные псевдосилы, возникающие вследствие ускорения, то, чтобы найти точку, уцепившись за которую мы уравновесим все моменты этих сил, можно использовать ту же самую математическую процедуру. Предположим, что мы заключили тело внутрь ящика, который ускоряется вместе со всем его содержимым. Тогда, с точки зре­ния наблюдателя, сидящего в этом ящике, на тело вследствие инерции будет действовать некая эффективная сила. Иначе го­воря, чтобы заставить тело двигаться вместе с ящиком, нужно подталкивать и ускорять его. Эта сила «уравновешивается силой инерции», которая равна массе тела, умноженной на ускорение ящика. Наблюдателю в ящике будет казаться, будто тело на­ходится в однородном гравитационном поле, величина g кото­рого равна ускорению ящика а. Таким образом, инерционные силы, возникающие вследствие ускорения тела, не имеют мо­мента относительно центра масс.

Этот факт имеет очень интересное следствие. В инерционной системе, движущейся без ускорения, момент сил всегда равен скорости изменения момента количества движения. Однако равенство момента силы и скорости изменения момента коли­чества движения остается справедливым даже для ускоряю­щегося тела, если взять ось, проходящую через центр масс. Таким образом, теорема о равенстве момента сил скорости изменения момента количества движения верна в двух случаях: 1) ось фиксирована — в инерциальной системе; 2) ось проходит через центр масс — даже когда тело ускоряется.

§ 2. Положение центра масс

Математическая техника вычисления центра масс относится к области курсов математики; там подобные задачи служат хорошими примерами по интегральному исчислению. Но, даже умея интегрировать, полезно знать некоторые трюки для вычис­ления положения центра масс. Один из таких трюков основан на использовании так называемой теоремы Паппа, которая ра­ботает следующим образом. Если мы возьмем какую-то замк­нутую фигуру и образуем твердое тело, вращая эту фигуру в пространстве так, чтобы каждая точка двигалась перпендику­лярно к плоскости фигуры, то объем образующегося при этом тела равен произведению площади фигуры на расстояние, прой­денное ее центром тяжести! Разумеется, эта теорема верна и в том случае, когда плоская фигура движется по прямой линии, перпендикулярной к ее площади, однако если мы движем ее по окружности или какой-то другой кривой, то при этом получа­ется гораздо более интересное тело. При движении по кривому пути внутренняя часть фигуры продвигается меньше, чем внеш­няя, и эти эффекты компенсируют друг друга. Так что если мы хотим определить центр масс плоской фигуры с однородной плотностью, то нужно помнить, что объем, образуемый враще­нием его относительно оси, равен расстоянию, которое проходит

Например, если нам нужно найти центр масс прямоуголь­ного треугольника с основанием D и высотой H (фиг. 19.2), то это делается следующим образом.

Фиг. 19.2. Прямоугольный тре­угольник и прямой круговой конус, образованный вращением этого треугольника.

Вообразите себе ось, про­ходящую вдоль H, и поверните треугольник на 360° вокруг этой оси. Это дает нам конус. Расстояние, которое проходит x-координата центра масс, равно 2pх, а площадь области, кото­рая двигалась, т. е. площадь треугольника, равна 1/2HD. Произведение расстояния, пройденного центром масс, на пло­щадь треугольника равно объему конуса, т. е. 1/3pD2H. Таким образом, (2pх)(1/2HD)=1/3pD2H, или x=D/3. Совершенно аналогично вращением вокруг второго катета или просто по соображениям симметрии находим, что у=Н/3. Вообще центр масс любого однородного треугольника находится в точке пере­сечения трех его медиан (линий, соединяющих вершину тре­угольника с серединой противоположной стороны), которая от­стоит от основания на расстоянии, равном 1/3 длины каждой медианы.

Как это увидеть? Рассеките треугольник линиями, парал­лельными основанию, на множество полосок. Заметьте теперь, что медиана делит каждую полоску пополам, следовательно, центр масс должен лежать на медиане.

Возьмем теперь более сложную фигуру. Предположим, что требуется найти положение центра масс однородного полукруга, т. е. круга, разрезанного пополам. Где будет находиться центр масс в этом случае? Для полного круга центр масс расположен в геометрическом центре, но для полукруга найти его положе­ние труднее. Пусть r — радиус круга, а x — расстояние центра масс от прямолинейной границы полукруга. Вращая его вокруг этого края как вокруг оси, мы получаем шар. При этом центр масс проходит расстояние 2pх, а площадь полукруга равна 1/2pr2 (половине площади круга). Так как объем шара равен, конечно, 4pr3/3, то отсюда находим