Ричард Фейнман - 4a. Кинетика. Теплота. Звук Страница 18

Совершенно другой результат получится, если мы сначала потихоньку нажмем соль, а затем ударим по клавише до'. Третья гармоника до' будет соответствовать четвертой гармонике соль, так что будет возбуждена только четвертая гармоника соль. Мы можем услышать (если слушать очень внимательно) звук соль", который на две октавы выше, чем соль, которую мы нажа­ли! Можно придумать еще очень много комбинаций этой игры.

Попутно заметим, что мажорный лад можно просто опреде­лить условием, что каждый из трех мажорных аккордов (фа— ля—до), (до—ми—соль) и (соль—си-бемоль—ре) представляет последовательность тонов с отношением частот (4:5:6). Эти отношения и тот факт, что в октаве (до—до', соль—соль' и т. д.) частоты относятся как 1:2, определяют в «идеальном» случае весь строй, который называется «натуральным, или пифагорийским строем». Но обычно клавишные инструменты типа фор­тепьяно не настраиваются таким образом, а устраивается не­большая «подтасовка», так что для всех возможных начальных тонов отношение частот только приблизительно верно. При таком строе, названном «темперированным», октава (для кото­рой отношение частот по-прежнему равно 1:2) делится на 12 равных интервалов, так что отношение частот для каждого интервала равно (2)1/12. Для квинты отношение частот будет уже не 3/2, а (2)7/12=1,499, но для большинства людей оно доста­точно близко к 3/2.

Итак, мы установили правила благозвучия через совпадение гармоник. Может быть, это совпадение и является причи­ной благозвучия? Кто-то утверждал, что два абсолютно чистых тона, т. е. тщательно очищенных от высших гармоник, не дают ощущения благозвучия или неблагозвучия (диссонанса), когда их частоты равны или приблизительно равны ожидаемому от­ношению. (Это очень сложный эксперимент, поскольку приго­товить чистые тоны очень трудно по причинам, которые мы увидим дальше.) Мы не можем с уверенностью сказать, срав­нивает ли ухо гармоники или занимается арифметикой, когда мы решаем, что звук нам нравится.

§ 4. Коэффициенты Фурье

Вернемся теперь к утверждению о том, что каждую ноту, т. е. любое периодическое колебание, можно представить в виде надлежащей комбинации гармоник. Хотелось бы знать, как можно найти нужную долю каждой гармоники. Конечно, если нам даны все коэффициенты а и b, то, пользуясь формулой (50.2), легко подсчитать функцию f(t). Теперь же вопрос со­стоит в том, как можно найти коэффициенты при различных гармониках, если нам задана функция f(t)? (Нетрудно испечь пирог, если есть рецепт, но как, отведав пирог, написать его рецепт?)

Фурье открыл, что на самом деле сделать это не очень труд­но. Член а0уж наверняка нетрудно найти. Мы говорили, что он равен среднему значению f(f) на протяжении одного периода (от t=0 до t=T). Легко увидеть, что это действительно так. Среднее значение синуса или косинуса на протяжении одного периода равно нулю. На протяжении двух, или трех, или дру­гого целого числа периодов оно тоже равно нулю. Таким обра­зом, среднее значение всех членов с правой стороны (50.2), за исключением только а0, равно нулю. (Напомним, что мы должны выбрать w=2p/T.)

Далее, поскольку среднее значение суммы равно сумме сред­них, то среднее значение функции f(t) равно просто среднему от а0. Но ведь а0 — просто постоянная, и ее среднее значение равно ей самой. Вспоминая определение среднего, мы полу­чаем

Найти остальные коэффициенты ненамного труднее. Чтобы сде­лать это, используем один фокус, открытый самим Фурье. Предположим, что мы умножили обе стороны уравнения (50.2) на какую-то гармоническую функцию, скажем на cos7wt. При этом получается

А теперь усредним обе стороны равенства. Среднее от члена a0cos7wt по периоду Т пропорционально среднему от косинуса по семи его периодам. Но последнее просто равно нулю. Среднее почти всех остальных членов тоже будет равно нулю. Действи­тельно, давайте рассмотрим член с а1. Мы знаем, что в общем случае

cosAcosВ=1/2cos(А+B)+1/2cos (А-В), (50.5)

так что член с а1равен

a1(cos8wt+cos6wt). (50.6)

Таким образом получаются два косинуса: один с восемью пол­ными периодами, а другой с шестью. Оба они равны нулю. Поэтому среднее значение этого члена тоже равно нулю.

Для члена с а2 мы получаем cos9wt и cos5wt, каждый из которых при усреднении превратится в нуль. Для члена с а9 получится соз16wt и cos(-2wt). Но cos(-2wt) — это то же са­мое, что cos2wt, так что опять оба члена дадут при усреднении нуль. Ясно, что все слагаемые с косинусами, за исключением одного, дадут при усреднении нуль. Этим единственным сла­гаемым будет член с а7. Для него же мы получим

1/2a7(cos14wt+cos0). (50.7)

Косинус нуля равен единице, а среднее от него, разумеется, тоже равно единице. Итак, мы получили, что среднее от всех членов с косинусами уравнения (50.4) равно 1/2а7.

Еще легче расправиться с синусами. Когда мы умножаем их на косинус типа cos nwt, то таким же методом можно показать, что все они при усреднении обращаются в нуль.

Мы видим, что способ, придуманный Фурье, действует как своеобразное сито. Когда мы умножаем на cos7wt и усредняем, то все члены, кроме а7, отсеиваются и в результате остается

или

Пусть читатель сам докажет, что коэффициенты b7, например, находятся с помощью умножения (50.2) на sin 7wt и усреднения обеих частей. Результат таков:

Но то, что верно для 7, очевидно, верно и для любого дру­гого целого числа. Теперь мы запишем результат нашего дока­зательства в следующей, более элегантной математической форме. Если m и n — целые отличные от нуля числа и если w=2p/T, то

В предыдущих главах для описания простого гармониче­ского движения было удобно пользоваться экспоненциальной функцией. Вместо coswt мы использовали Re ехр(iwt) —дей­ствительную часть экспоненциальной функции. В этой главе мы использовали синус и косинус, потому что с ними, пожа­луй, немного проще проводить доказательства. Однако наш окончательный результат, уравнение (50.13), можно записать в более компактной форме:

где аn — комплексное число аn-ibn(с b0=0). Если мы всюду будем пользоваться одним и тем же обозначением, то должны также написать

Итак, теперь мы умеем раскладывать периодическую волну на ее гармонические компоненты. Эта процедура называется разложением в ряд Фурье, а отдельные члены называются фурье-компонентами. Однако до сих пор мы не показали, что, определив все фурье-компоненты и затем сложив их, мы дейст­вительно придем назад к нашей функции f(t). Математики до­казали, что для широкого класса функций (в сущности, для всех функций, интересных физикам), которые можно проин­тегрировать, мы снова получаем f(t). Но есть одно небольшое исключение. Если функция f(t) разрывна, т. е. если она неожи­данно прыгает от одного значения к другому, сумма Фурье такой функции даст в точке разрыва значение, лежащее посре­дине между верхним и нижним значениями. Таким образом, если у нас есть странная функция f(t)=0 для 0≤t<t0и f(t)=1 для t0≤t≤T, то ее сумма Фурье всюду даст нам правильную величину, за исключением точки t0, где вместо единицы полу­чится 1/2. Во всяком случае, физически даже нельзя требовать, чтобы функция была всюду нулем вплоть до точки t0, а в самой точке t0вдруг стала равной единице. Может быть, стоило бы спе­циально для физиков издать такой «указ», что любая разрывная функция (которая может быть только упрощением настоящей физической функции) в точке разрыва должна принимать сред­нее значение. Тогда любая такая функция, с любым конечным числом «ступенек», как и все другие интересные для физики функции, будет правильно описываться рядом Фурье.

В качестве упражнения предлагаем читателю найти ряд Фурье для функции, показанной на фиг. 50.3.