Ричард Фейнман - 4a. Кинетика. Теплота. Звук Страница 20

Итак, мы обнаружили, что нелинейная реакция дает не­сколько эффектов: выпрямление, возникновение гармоник и модуляцию, т. е. возникновение компонент с суммой и разно­стью частот.

Обратите внимание, что все эти эффекты пропорциональны не только коэффициенту нелинейности e, но и произведению амплитуд: либо A2, либо В2, либо АВ. Поэтому мы ожидаем, что они будут более важны для сильных сигналов, чем для слабых.

Описанные нами эффекты находят множество практических приложений. Во-первых, что касается звука, то, как полагают, наше ухо — нелинейный аппарат. Такое представление воз­никло из того факта, что, даже когда звук содержит только чистые тоны, при большой громкости возникает ощущение, что мы слышим высшие гармоники, а также сумму и разность час­тот.

Аппараты, используемые обычно в звуковоспроизводящих устройствах,— усилители, громкоговорители и т. д.— всегда имеют какие-то нелинейности. Они искажают звук, порождая гармоники, которых вначале не было. Эти новые гармоники воспринимаются ухом и, несомненно, нежелательны. Именно по этой причине высокочастотная аппаратура должна быть как можно «более линейной». (Почему нелинейность нашего собст­венного уха не «неприятна» и откуда нам знать, что нелинейность «сидит» в громкоговорителе, а не в нашем ухе,— не ясно!)

Однако в некоторых случаях нелинейность совершенно необходима, и в некоторых частях радиопередающих и прини­мающих устройств она намеренно делается побольше. При ра­диопередачах с помощью амплитудной модуляции сигналы от «голоса» (частоты порядка нескольких килогерц) комбинируются с «несущим сигналом» (с частотой порядка нескольких ме­гагерц) в нелинейной цепи, которая называется модулятором. При этом получаются модулированные колебания, которые за­тем излучаются в эфир. В приемнике сигнал снова попадает в нелинейный контур, который складывает и вычитает частоты модулированного сигнала, выделяя снова звуковой сигнал.

Когда мы разбирали вопрос прохождения света через ве­щество, мы предполагали, что вынужденные колебания зарядов пропорциональны электрическому полю света, т. е. мы брали линейную реакцию. Это действительно очень хорошее прибли­жение. Только в последние несколько лет были построены источ­ники света (лазеры), которые дают интенсивность, достаточную для наблюдения нелинейных эффектов. Теперь можно создавать гармоники световых частот. Если пропускать через кусок стекла сильный красный свет, то выходит он оттуда с неболь­шим добавком второй гармоники — голубого света!

* Ее можно вычислить следующим образом. Во-первых, заметим, что

Во-вторых, разложив подынтегральное выражение

в ряд, получим l/(1+x2)=l-x2+x4-x6+... . Интегрируя затем почленно этот ряд (от нуля до х), получаем arctgx:=l-х3/3+х5/5-x7/7+..., а поло­жив x=1, мы докажем использованный результат, поскольку

arctg1=p/4.

* В основе деления октавы на 12 ступеней лежит открытие Пифагора. Он брал струну, зажимал ее посредине и получал звук на октаву выше, нем звук незажатой струны. Затем половину струны он опять зажимал посредине и получал звук еще на октаву выше и т. д. Точно так же, за­жимая последовательно струну на 1/3 длины, он каждый раз получал звук выше на квинту. И вот оказалось, что 12 квинт почти точно уклады­ваются на интервале в 7 октав [т. е. 27~=(3/2)12]. Если же теперь от каждой квинты отложить целое число октав вверх и вниз, то каждая первона­чальная октава разделится на 12 частей. Так возник нифагорийский строй. Однако беда в том, что 12 квинт только приблизительно равны 7 октавам, поэтому в разных местах диапазона «лесенки» получались неровные. При развитии мелодии эти неточности накапливались и возникали про­тивные уху интервалы, так называемые «волки», которые страшно досаж­дали музыкантам. Иногда дело доходило до курьезов. Рассказывают, что известный композитор Жак Рамо сумел так ловко извлекать из органа «волчьи» звуки, что однажды, желая отказаться от должности церковного органиста, привел своей «игрой» в ужас святых отцов и убедил их в своей «бесталанности». Много сил было потрачено на изгнание «волков». Этим, в частности, безуспешно занимались такие умы, как Кеплер и Эйлер. Однако сделать это удалось не физику и не математику, а органисту Анд­рею Веркмейстеру. Решение его гениально просто: он отказался от чистых квинт, укоротив их как раз настолько, чтобы дюжина вместилась в 7 октав, и несовместимое совместилось, а «волки» исчезли. Так возник современный темперированный строй.— Прим. ред.

Глава 51

ВОЛНЫ

§ 1. Волна от движущегося предмета

§ 2. Ударные волны

§ 3. Волны в твердом теле

§ 4. Поверхностные волны

§ 1. Волна от движущегося предмета

Мы закончили количественный анализ волн, но посвятим еще одну дополнительную главу некоторым качественным оценкам различных явлений, связанных с волнами; для подробного анализа они слишком сложны. Волнами мы занимаемся уже на протяжении нескольких глав, поэтому предмет настоящей главы было бы вер­нее назвать «некоторые из более сложных яв­лений, связанных с волнами».

Первым объектом нашего обсуждения будет эффект, производимый источником волн, дви­жущимся со скоростью, превышающей ско­рость распространения волн, т. е. быстрее их фазовой скорости. Рассмотрим сначала волны, которые, подобно звуку или свету, имеют опре­деленную постоянную скорость. Если источник звука движется со сверхзвуковой скоростью, то произойдет нечто вроде следующего. Пусть в данный момент источник, находящийся в точ­ке x1, порождает звуковую волну (фиг. 51.1), тогда в следующий момент источник переме­стится в точку х2, а волна из точки х1распро­странится в радиусе r1, который меньше расстоя­ния, пройденного источником, а из точки х2, разумеется, пойдет другая волна.

Фиг. 51.1. Фронт ударной волны, образующий конус с вершиной в источнике и углом полураствора q=arcsin(cw/v).

Когда источ­ник переместится еще дальше, в точку х3, и отсюда тоже пойдет волна, то волна из точки х2 распространится в радиусе r2, а волна из точ­ки х1— в радиусе r3. Конечно, все это происхо­дит непрерывно, а не какими-то этапами, и по­этому получается целый ряд таких волновых колец с общей касательной линией, проходя­щей через центр источника. Мы видим, что источник, вместо того чтобы порождать сфери­ческие волны, как это произошло бы, будь он неподвижен, порождает фронт, образующий в трехмерном про­странстве конус или в двухмерном пару пересекающихся пря­мых линий. Из рисунка нетрудно найти угол между этими дву­мя линиями. За данный отрезок времени источник проходит расстояние, пропорциональное его скорости v, скажем х3-х1 . Тем временем фронт волны распространится на расстояние r3, пропорциональное cw— скорости волны. Ясно поэтому, что си­нус угла полураствора равен отношению скорости волны к ско­рости источника, а это может быть только тогда, когда cwмень­ше v, или скорость объекта больше скорости волны:

sinq=cw/v. (51.1)

Интересно, что движущийся предмет вовсе не обязан быть источником звука, оказывается, что когда предмет движется быстрее скорости звука, то он сам производит звук. Ему для этого вовсе не обязательно вибрировать. Любой предмет, дви­жущийся через среду быстрее, чем эта среда переносит волны, будет автоматически порождать волны просто благодаря свое­му движению. Это проще понять для случая звука, но тоже самое происходит и со светом. Сначала может показаться, что ничто не может двигаться быстрее скорости света. Однако фа­зовая скорость света в стекле, например, меньше, чем в пустоте, а через кусок стекла можно пропустить такую частицу, ско­рость которой будет очень близка к скорости света в пустоте, тогда как фазовая скорость света в стекле может быть равна только 2/3 этой скорости. Частица, летящая быстрее света в среде, порождает коническую световую волну с вершиной в источнике, подобно волнам, вызванным лодкой (эти волны одной и той же природы). Измеряя угол при вершине конуса, мы можем определить скорость частицы. В физике это исполь­зуется для измерения скорости частиц как один из методов оп­ределения их энергии при высокоэнергетических исследованиях. Единственное, что приходится измерять,— это направление излучения света.