Ричард Фейнман - 4a. Кинетика. Теплота. Звук Страница 22

Следующим шагом будет использование закона сохранения импульса. Мы еще не касались вопросов давления в воде и про­чей гидродинамики, но и так ясно, что давление в воде на какой-то глубине должно быть как раз достаточным, чтобы поддержи­вать столбик воды над этой глубиной. Следовательно, давление воды равно произведению плотности r на g и на глубину. Так как давление воды возрастает линейно с глубиной, то среднее давление на плоскость, проходящую, например, через точку х1, равно l/2rgh2, что также представляет среднюю силу на еди­ничную ширину и на единичную длину, толкающую плоскость к точке х2. Чтобы получить полную силу, давящую на воду сле­ва, мы должны еще раз умножить на h2. С другой стороны, дав­ление на рассматриваемую область справа дает противоположно направленную силу, которая по тем же причинам равна ll2rgh21. Теперь мы должны приравнять эти силы к скорости изменения импульса. Таким образом, нам нужно выяснить, насколько в случае, изображенном на фиг. 51.5,6, импульс больше, чем в случае, показанном на фиг. 51.5,а.

Мы видим, что дополнительная масса, которая приобрела скорость v, равна просто rh2uDt—rh2vDt (на единицу ширины), а умножение ее на v дает дополнительный импульс, который должен быть приравнен к импульсу силы FDt:

(rh2uDt-rh2vDt)v=(1/2rgh22-1/2rgh21}Dt.

Исключая из этого уравнения v подстановкой vh2=и(h2-h1) и упрощая его, получаем окончательно u2=gh2(h1+h2)/2h1.

Если разность высот очень мала, так что h1и h2приблизи­тельно одинаковы, то скорость будет равна Цgh. Как мы увидим позднее, это справедливо только при условии, что длина волны много больше глубины канала.

Аналогичную вещь можно сделать и для ударных волн, только теперь нужно добавить уравнение сохранения внутрен­ней энергии, потому что ударная волна — явление необра­тимое. Действительно, если в задаче о высокой приливной волне проверить закон сохранения энергии, то мы увидим, что он не выполняется. Когда разность высот мала, то энергия почти сохраняется, но как только разность высот становится более заметной, возникают большие потери. Это проявляется в падении воды и водоворотах, показанных на фиг. 51.4.

С точки зрения адиабатического процесса в ударной волне тоже происходит аналогичная потеря энергии. Энергия в зву­ковой волне за ударным фронтом уходит на нагревание газа, что соответствует бурлению воды при высоком приливе. Оказы­вается, что необходимо решить три уравнения, чтобы описать все это для случая звука, причем нужно учесть, что температура за ударной волной и перед ней, как мы видели, не одинакова.

Если мы попытаемся пустить высокий прилив в обратную сторону (h2<h1), то окажется, что потеря энергии отрицательна.

Но поскольку энергию взять неоткуда, высокий прилив не может поддерживать сам себя — он не стабилен. Если попытаться создать волну такого вида, то дальше она становится все более и более плоской, ведь зависимость скорости от высоты, которая раньше давала резкий фронт, в нашем случае будет работать в обратную сторону.

§ 3. Волны в твердом теле

Следующий тип волн, о которых нам следует поговорить,— это волны в твердом теле. Мы уже рассмотрели звуковые волны в жидкости и газе, а между ними и звуковыми волнами в твер­дом теле имеется непосредственная аналогия. Если резко толк­нуть твердое тело, то оно сожмется. Оно сопротивляется сжа­тию и в нем возникнут волны, аналогичные звуковым. Однако в твердом теле могут быть волны и другого рода, которых не бывает в жидкости. Если мы возбудим колебания твердого тела с помощью бокового давления (это называется сдвигом), то тело стремится вернуться в начальное положение. Именно этим, по определению, твердое тело отличается от жидкого. Если искривить жидкость и подержать ее так немного, чтобы она успокоилась, а затем отпустить, то она останется в том же со­стоянии, но если мы возьмем твердое тело, похожее на дрожа­щий кусок желе, надавим на него и отпустим, то оно вернется на­зад, а в теле возникает волна сдвига, которая распространяется так же, как и волна сжатия. Во всех случаях скорость этих волн меньше скорости продольных волн. В каком-то отноше­нии волны сдвига больше напоминают световые волны, ибо здесь мы тоже имеем дело с поляризацией. У звука нет ника­кой поляризации, это просто волна сжатия, а световые колеба­ния имеют характерную ориентацию, перпендикулярную к направлению их распространения.

Итак, в твердом теле могут быть волны обоих сортов. Во-пер­вых, там распространяются волны сжатия, аналогичные звуку в воздухе, и, во-вторых, волны сдвига. Если наше твердое тело не кристалл, то волна сдвига может быть поляризована в лю­бом направлении. (Конечно, все твердые тела — кристаллы, но если мы возьмем кусок, состоящий из микрокристаллов всех ориентации, то кристаллическая анизотропия усредняется.)

Есть еще один интересный вопрос, касающийся звуковых волн. Что получится, если длина волны в твердом теле стано­вится все меньше и меньше? До каких пор может это продол­жаться? Ясно, что она не может стать меньше расстояния между атомами, ибо если под волной мы понимаем такое явление, когда одна точка идет вниз, а следующая — вверх и т. д., то кратчайшая возможная длина волны при этом, очевидно, равна межатомному расстоянию. Вам известно, что колебания могут быть как про­дольные, так и поперечные, длинноволновые и коротковолновые.

Если мы рассматриваем длины волн, сравнимые с межатомным расстоянием, то скорость уже не будет постоянной; возникает дисперсионный эффект, когда скорость становится зависимой от волнового числа. А высшая гармоника поперечных волн все же должна характеризоваться именно тем, что каждые два со­седних атома делают нечто противоположное друг другу.

С атомистической точки зрения ситуация здесь напоминает два связанных маятника, о которых мы уже говорили. У них могут быть два вида собственных колебаний: один — когда они качаются вместе, и другой — когда в противоположные стороны. Так что волны в твердом теле можно рассматривать и с иной точки зрения — как колебания связанных гармонических ос­цилляторов, подобных огромному числу связанных маятничков, причем высшая гармоника получается, когда маятнички колеблются в противоположные стороны, и низшие — при дру­гих соотношениях фаз.

Эти кратчайшие волны настолько малы, что обычно их не­возможно получить технически. Однако они очень интересны, поскольку свойства этих коротких звуковых волн помогают нам объяснить в термодинамической теории твердого тела его тепловые свойства, в частности удельную теплоемкость. Переход к предельно коротким звуковым волнам означает переход к ин­дивидуальному движению атомов; это в конечном счете одно и то же.

Очень интересным примером звуковых волн в твердом теле являются волны, идущие по земному шару, как продольные, так и поперечные. Хотя нам и не известно почему, но внутри Земли время от времени происходят землетрясения. Одни породы сдви­гаются относительно других, и это движение сходно с очень низким звуком. Из такого источника выходят и путешествуют по всей Земле волны, подобные звуковым, и хотя их длина зна­чительно больше длины обычных звуковых волн, но все же это звуковые волны. Наша Земля не однородна: давление, плотность, сжимаемость и т. д. изменяются с изменением глубины, а поэ­тому изменяется и скорость. Возникает нечто похожее на пока­затель преломления, и волны идут не по прямому пути, а по некоторой кривой. Кроме того, картина осложняется тем, что продольные и поперечные волны распространяются с разной скоростью, а поэтому и решения для них будут разными. Если мы в каком-то месте поставим сейсмограф и будем наблюдать, как скачет его самописец после того, как где-то произошло землетрясение, то мы увидим не просто какие-то неправильные прыжки. Мы увидим, как самописец сначала запрыгает, затем успокоится, затем опять запрыгает. Более конкретные детали происходящего зависят от положения сейсмографа. Если он расположен достаточно близко к месту землетрясения, то сна­чала мы примем продольные волны от возмущения, а уж потом, несколько секунд спустя,— поперечные, ибо они идут медленней. Измеряя разницу времени между их приходами, можно ска­зать, насколько далеко произошло землетрясение, разумеется, если мы достаточно хорошо знаем скорости и состав внутрен­них областей.