Ричард Фейнман - 3a. Излучение. Волны. Кванты Страница 26

Принцип неопределенности «спасает» квантовую механику. Гейзенберг понимал, что если б можно было с большей точно­стью измерять и положение, и импульс одновременно, то кван­товая механика рухнула бы. Вот он и допустил, что это невоз­можно. Тогда люди принялись придумывать способы, как все-таки это сделать. Но никому не удалось представить себе способ, как измерять положение и импульс чего угодно — эк­рана, электрона, биллиардного шара, любого предмета — с большей точностью. И квантовая механика продолжает вести свой рискованный, впрочем, вполне четко очерченный образ жизни.

Глава 38

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ВОЛНОВОЙ И КОРПУСКУЛЯРНОЙ ТОЧКАМИ ЗРЕНИЯ

§ 1. Волны амплитуды вероятности

§ 2. Измерение положения и импульса

§ 3. Дифракция на кристалле

§ 4. Размер атома

§ 5. Уровни энергии

§ 6. Немного философии

§ 1. Волны амплитуды вероятности

В этой главе мы с вами обсудим соотношение между волновой и корпускулярной точками зрения. Из предыдущей главы мы уже знаем, что ни та, ни другая неверны. Обычно мы всегда старались формулировать понятия аккуратно или по крайней мере, достаточно точно, чтобы при дальнейшем изучении их не пришлось бы менять. Разрешалось их расширять, обобщать, но уже никак не менять! Но как только мы пытаемся говорить об электроне как волне или об элект­роне как частице, то любая из этих точек зре­ния рано или поздно меняется, ведь обе они приблизительны. Поэтому все, что мы изучим в этой главе, в каком-то смысле неправильно; будут высказаны некие полуинтуитивные со­ображения, которым со временем предстоит уточняться, и кое-что придется слегка изме­нить, когда мы их уточним с помощью кванто­вой механики. Причина в том, что, не собираясь сейчас штудировать квантовую механику по всем правилам, мы хотим получить, по край­ней мере, представление о характере эффектов, которые мы там обнаружим. Да и к тому же весь наш опыт относится либо к волнам, либо к частицам, и поэтому весьма удобно исполь­зовать то те, то другие представления, чтобы добиться некоторого понимания того, что про­изойдет в определенных обстоятельствах, пока мы еще не знаем всей математики квантовомеханических амплитуд. По мере нашего продвиже­ния вперед мы будем стараться прояснять самые слабые места. Впрочем, многие из этих мест почти верны, все дело просто в толковании.

Прежде всего, мы уже знаем, что новый, выдвигаемый кван­товой механикой способ изображать мир — новая система ми­ра — состоит в том, чтобы задавать амплитуду любого события, которое может случиться. Если событие состоит в регистрации частицы, то можно задать амплитуду обнаружения этой части­цы в тех или иных местах и в то или иное время. Вероятность обнаружить частицу тогда будет пропорциональна квадрату абсолютной величины амплитуды. Вообще говоря, вероятность обнаружить частицу в каком-то месте и в какое-то время ме­няется в зависимости от места и от времени.

В частном случае амплитуда может изменяться синусои­дально в пространстве и времени по закону exp[i(wt-k·r)] (не забывайте, что амплитуда — число комплексное, а не дей­ствительное); тогда в нее входит определенная частота w и определенный волновой вектор k (величина k=|k| называется волновым числом). Это отвечает той предельной классической ситуации, когда можно считать, что имеется частица с извест­ной энергией Е, которая связана с частотой соотношением

(38.1)

и с известным импульсом р, связанным с волновым вектором формулой

(38.2)

Это означает, что понятие частицы ограниченно. Само понятие частицы, понятие ее положения, ее импульса и т. д., которым мы так часто пользуемся, в некотором смысле не является удовлетворительным. Например, когда амплитуда, относящаяся к событию обнаружения частицы в том или ином месте, дается функцией exp[i(wt-k·r)], равной по абсолютной величине единице, то это значит, что вероятность обнаружить частицу одинакова для любой точки. Получается, что тогда мы просто не знаем, где она находится. Она может оказаться где угодно, ее положение в высшей 'степени неопределенно.

Когда же положение частицы более или менее известно, когда оно может быть предсказано довольно точно, то вероят­ность того или иного ее местоположения должна быть отлична от нуля в определенной области, имеющей, скажем, длину Dx. Вне этой области вероятность равна нулю. Вероятность — это квадрат абсолютной величины амплитуды. Когда квадрат абсолютной величины равен нулю, то и амплитуда равна нулю.

Фиг. 38.1. Волновой пакет длиной Dx.

Выходит, что амплитуда описывает цуг волн протяженностью Dx (фиг. 38.1), а длине волны (расстоянию между горбами волн) в цуге волн соответствует некоторое значение импульса час­тицы.

Здесь мы сталкиваемся со странным и в то же время очень простым явлением, никак непосредственно с квантовой меха­никой не связанным. Оно известно всем, кто занимался волна­ми, даже не зная квантовой механики, а именно: нельзя одно­значно определить длину волны для короткого цуга волн. У такого цуга нет определенной длины волн; в волновом числе имеется неопределенность, связанная с конечной длиной цуга, а значит, и неопределенность в импульсе.

§ 2. Измерение положения и импульса

Чтобы понять, почему в квантовой механике появляется неопределенность в положении и (или) в импульсе, рассмотрим два примера. Мы уже видели раньше, что если бы этого не было, если бы можно было параллельно измерять и местонахождение, и импульс какого-то тела, то возник бы парадокс. К счастью, парадокса не возникает, а то обстоятельство, что неопределен­ность естественным образом вытекает из волновой картины, свидетельствует, что все здесь взаимосвязано.

Вот первый пример, показывающий связь импульса и коор­динаты в условиях, которые легко себе представить. Пусть сквозь единственную щель в экране проникают частицы, при­шедшие издалека и обладающие определенной энергией. Дви­жутся все они горизонтально (фиг. 38.2). Сосредоточим наше внимание на вертикальной составляющей импульса. У каждой из этих частиц имеется (в обычном классическом смысле) го­ризонтальная составляющая импульса определенной величины р0 . Вертикальная составляющая импульса рy (до того, как частица пройдет сквозь прорезь) также в классическом смысле хорошо известна: частицы не движутся ни вверх, ни вниз, по­тому что их источник очень удален, значит, вертикальная со­ставляющая импульса частицы в точности равна нулю. А теперь предположим, что ширина щели равна В.

Фиг. 38.2. Дифракция частиц, проходящих сквозь щель.

Когда частица прой­дет через щель, то ее вертикальная координата у определится с хорошей точностью ± В. Это значит, что неопределенность в положении частицы Dy будет порядка В. Может, вы захотите сказать, что Dpy=0, потому что импульс частиц, мол, точно горизонтален? Но это не так. Это прежде мы знали, что импульс имеет только горизонтальную составляющую, а теперь мы этого уже не знаем. Перед тем как частица проникла сквозь щель, мы не знали ее вертикальной координаты. После того как час­тица проникла сквозь щель, мы узнали ее вертикальную коор­динату, но потеряли информацию об ее вертикальной состав­ляющей импульса! Почему? Да потому, что, согласно волновой теории, происходит отклонение, или дифракция, волн, проник­ших сквозь щель, подобно тому как это бывает со светом. По­этому есть конечная вероятность того, что частицы, пройдя сквозь щель, не пойдут прямо вперед. Вся картина распростра­нения расплывается за счет дифракции, и угол этого расшире­ния (угол, под которым виден первый минимум) есть мера неоп­ределенности направления частицы.

Каким образом происходит расплывание изображения в ширину? Расплывание означает, что существует некая вероят­ность того, что частица отправится вверх или вниз, т. е. приоб­ретет компоненту импульса, направленную вверх или вниз. (Мы говорим и о вероятности и о частице, потому что дифрак­ционную картину можно обнаружить с помощью счет­чика частиц, а когда счетчик регистрирует частицу, скажем, в точке С на фиг. 38.2, то он регистрирует частицу целиком. А это значит в классическом смысле, что частица имеет вертикальный импульс, направляющий ее из щели прямо в точку С.)

Чтобы примерно представить себе степень расплывания импульса, напишем, что вертикальный импульс ру размазан на р0Dq, где р0 — горизонтальный импульс. Чему же равно Dq в размазанной картине? Известно, что первый минимум на­блюдается при угле Dq таком, что в этом направлении волна от дальнего края щели должна отстать на одну свою длину от волны от ближнего края (мы об этом уже говорили в гл. 30). Стало быть, Dq равно l/B, и тем самым Dpy в этом эксперименте равно р0l/В. Чем меньше будет В, чем точнее будет определять­ся положение частицы, тем шире будет дифракционная картина. Вспомните, что когда мы закрывали щели в эксперименте с микроволнами, то интенсивность в стороне от щели возрастала. Значит, чем уже щель, тем шире становится картина дифрак­ции, тем правдоподобнее, что мы обнаружим у частицы импульс, направленный в сторону. И неопределенность в вертикальном импульсе, действительно, обратно пропорциональна неопре­деленности в у, потому что их произведение равно p0l.