Ричард Фейнман - 6. Электродинамика Страница 28

(20.11)

Все наши электромагнитные поля подчиняются одному и тому же уравнению (20.8). Можно еще спросить: каково самое общее решение этого уравнения? Однако прежде, чем решать этот трудный вопрос, сначала посмотрим, что можно сказать в общем случае о тех решениях, в которых по у и по z ничего не меняется. (Всегда сначала беритесь за простые случаи, чтобы было видно, чего следует ожидать, а уж потом можете перехо­дить к случаям посложней.) Предположим, что величина полей зависит только от х, так что по у и по z поля не меняются. Мы, следовательно, опять рассматриваем плоские волны и должны ожидать, что получатся те же результаты, что и в пре­дыдущей главе. И мы действительно получим в точности те же самые ответы. Вы можете спросить: «Но зачем снова делать то же самое?» Это важно, во-первых, потому, что мы не доказа­ли, что найденные нами волны представляют собой самое общее решение для плоских волн, и, во-вторых, потому что наши поля произошли от источника тока особого вида. Сейчас мы хотели бы выяснить такой вопрос: каков самый общий вид одномер­ной волны в пустом пространстве? Мы не узнаем этого, если будем рассматривать тот или иной источник особого вида, нам нужна большая общность. Кроме того, на этот раз мы бу­дем работать не с интегральной формой уравнений, а с диффе­ренциальной. Хотя итог одинаков, это прекрасный случай поупражняться в выкладках и убедиться в том, что не имеет значения, каким путем идти. Вы должны уметь действовать любым путем, потому что, наткнувшись на трудную задачу, вы часто обнаруживаете, что годится лишь один из многих способов расчета.

Можно было бы прямо рассмотреть решение волнового урав­нения для какой-нибудь из электромагнитных величин. Вместо этого мы начнем прямо с начала, с уравнений Максвелла для пустого пространства, и вы убедитесь в их тесной связи с элек­тромагнитными волнами. Так что мы отправляемся от уравне­ний (20.1), полагая, что в них токи и заряды равны нулю. Они обращаются в

(20.12)

Распишем первое уравнение покомпонентно:

(20.13)

Мы предположили, что по у и z поле не меняется, так что два последних члена равны нулю. Тогда, согласно (20.13),

(20.14)

Решением его является постоянное в пространстве Ех(компо­нента электрического поля в направлении х). Взглянув на уравнение IV в (20.12) и полагая, что В тоже не изменяется вдоль y и z, вы убедитесь, что Ехпостоянно и во времени. Таким по­лем может оказаться постоянное поле от какого-то заряженного конденсатора вдали от этого конденсатора. Нас сейчас не за­нимают такие неинтересные статические поля; мы интересуем­ся лишь динамически изменчивыми полями. А для динамиче­ских полей Ех=0.

Итак, мы пришли к важному результату о том, что при распространении плоских волн в произвольном направлении электрическое поле должно располагаться поперек направления своего распространения. Конечно, у него еще остается возмож­ность каким-то сложным образом изменяться по координате х.

Поперечное поле Е можно всегда разбить на две компонен­ты, скажем на у и z. Так что сначала разберем случай наличия у электрического ноля только одной поперечной компоненты. Для начала возьмем электрическое поле, направленное по у, т. е. с нулевой z-компонентой. Ясно, что, решив эту задачу, мы всегда сможем разобрать и тот случай, когда электрическое поле всюду направлено по z. Общее решение можно всегда представить в виде суперпозиции двух таких полей.

Какими простыми стали теперь наши уравнения! Теперь единственная ненулевая компонента электрического поля — это Еу, и все производные (кроме производных по х) тоже рав­ны нулю. Остатки уравнений Максвелла выглядят чрезвычайно просто.

Рассмотрим теперь второе из уравнений Максвелла [т. е. II из (20.12)]. Расписав компоненты rot E, получаем

здесь x-компонента СXE равна нулю, потому что равны нулю производные по у и z; y-компонента тоже равна нулю: первый член потому, что все производные по z равны нулю, а второй потому, что Ez=0. Единственная не равная нулю компонента rot E — это z-компонента, она равна дЕу/дх. Полагая, что три компоненты СXE равны соответствующим компонентам —dB/dt, мы заключаем, что

(20.15)

(20.16)

Поскольку временные производные как x-компоненты магнит­ного поля, так и

y-компоненты магнитного поля равны нулю, то обе эти компоненты суть попросту постоянные поля и отве­чают найденным раньше магнитостатическим решениям. Ведь кто-то мог оставить постоянный магнит возле того места, где распространяются волны. Мы будем игнорировать эти по­стоянные поля и положим Вхи Вyравными нулю.

Кстати, о равенстве нулю x-компонент поля В мы должны были бы заключить и по другой причине. Поскольку диверген­ция В равна нулю (по третьему уравнению Максвелла), то мы, прибегая при рассмотрении электрического поля к тем же доводам, что и выше, должны были бы прийти к выводу, что продольная компонента магнитного поля не может изменяться вдоль х. А раз мы такими однородными полями в наших вол­новых решениях пренебрегаем, то нам следовало бы положить Вхравным нулю. В плоских электромагнитных волнах поле В, равно как и поле Е, должно быть направлено поперек направ­ления распространения самих волн.

Равенство (20.16) дает нам добавочное утверждение о том, что если электрическое поле имеет только y-компоненту, то магнитное поле имеет только z-компоненту. Значит, Е и В перпендикулярны друг другу. Именно это и наблюдалось в той волне особого типа, которую мы уже рассмотрели.

Теперь мы готовы использовать последнее из уравнений Максвелла для пустого пространства [т. е. IV из (20.12)1. Рас­писывая покомпонентно, имеем

(20.17)

Из шести производных от компонент В только dBz/dx не равна нулю. Так что три уравнения просто дают

(20.18)

Итог всей нашей деятельности состоит в том, что отличны от нуля только по одной компоненте электрического и магнит­ного полей и эти компоненты обязаны удовлетворять уравне­ниям (20.16) и (20.18). Эти два уравнения можно объединить в одно, если первое из них продифференцировать по х, а второе— по t; тогда левые стороны уравнений совпадут (с точностью до множителя с2). И мы обнаруживаем, что Е подчиняется урав­нению

(20.19)

Мы уже встречали это дифференциальное уравнение, когда изучали распространение звука. Это волновое уравнение для одномерных волн.

Заметьте, что в процессе вывода мы получили больше, чем содержится в (20.11). Уравнения Максвелла дали нам ин­формацию и о том, что у электромагнитных волн есть только компоненты поля, расположенные под прямым углом к направ­лению распространения волн.

Вспомним все, что нам известно о решениях одномерного волнового уравнения. Если какая-то величина ш удовлетво­ряет одномерному волновому уравнению

(20.20)

то одним из возможных решений является функция ш (x, t),

имеющая вид

(20.21)

т. е. функция одной-единственной переменной (x-ct). Функция i(x-ct) представляет собой «жесткое» образование вдоль оси х, которое движется по направлению к положительным х со ско­ростью с (фиг. 20.4). Так, если максимум функции f приходится на нулевое значение аргумента, то при t=0 максимум ш ока­зывается при x=0. В более поздний момент, скажем при t=10, максимум ш окажется в точке х=10 с. Когда время движется, максимум тоже движется в сторону возрастания х со скоростью с. Порой удобнее считать, что решение одномерного волно­вого уравнения является функцией от (t-х/с). Однако в сущ­ности это одно и то же, потому что любая функция от (t-х/с)— это

также функция от (x-ct):

Покажем, что f(x-ct) действительно есть решение волнового уравнения. Поскольку f зависит лишь от одной переменной — переменной (x-ct), то мы будем через f' обозначать производ­ную f по этой переменной, а через f"— вторую производную.