Ричард Фейнман - 4a. Кинетика. Теплота. Звук Страница 5

И, наконец, есть еще один тип волн, который нам дает сов­ременная физика. Это волны, определяющие амплитуду веро­ятности нахождения частицы в данном месте,— «волны мате­рии», о которых мы уже говорили. Их частота пропорциональна энергии, а волновое число пропорционально импульсу. Эти волны встречаются в квантовой механике.

В этой главе мы будем рассматривать только такие волны, скорость которых не зависит от длины волны. Пример таких волн — распространение света в вакууме. Скорость света в этом случае одна и та же для радиоволн, для синего и зеленого света и вообще для света любой длины волны. Именно поэтому, когда мы описывали волновые явления, мы сначала и не заметили са­мого факта распространения волн. Вместо этого мы говорили, что если перенести заряд в некоторую точку, то электрическое поле на расстоянии х будет пропорционально ускорению заряда, но не в момент времени t, а в более ранний момент времени t- x/c. Поэтому распределение электрического поля в про­странстве в некоторый момент времени, изображенное на фиг. 47.2, спустя время t передвинется на расстояние ct. Вы­ражаясь математически, можно сказать, что в рассматриваемом нами одномерном случае электрическое поле есть функция от x-ct. Отсюда видно, что при t=0 оно оказывается функцией только х. Если взять более поздний момент времени и несколько увеличить х, мы получим ту же самую величину поля. Напри­мер, если максимум поля возникает при x=3 и в момент времени t=0, то положение максимума в момент времени t находится из равенства

x-ct=3, или x=3+ct.

Мы видим, что такая функция отвечает распространению волны. Итак, функция f(x-ct) описывает волну. Мы можем все сказанное записать кратко так:

f(x-ct)= f[x+Dx-с(t+Dt],

если Dx=cDt. Конечно, существует еще и другая возможность, когда источник излучает волны не направо, как указано на фиг. 47.2, а налево, так что волны будут двигаться в сторону отрицательных х.

Фиг. 47.2. Примерное распределение электрического поля в некоторый момент времени (а) и электрическое поле через промежуток времени t (b).

Тогда распространение волны описывалось бы функцией g(x+ct).

Может еще случиться, что в пространстве одновременно движется несколько волн, и тогда электрическое поле есть сумма всех полей и все они распространяются независимо. Это свойство электрических полей можно выразить так: пусть f1(x-ct) отвечает одной волне, a f2(x-ct) — другой, тогда их сумма также описывает некоторую волну. Это утверждение на­зывается принципом суперпозиции. Он справедлив и для звуко­вых волн.

Мы хорошо знаем, что звуки воспринимаются в той после­довательности, в какой они создаются источником. А если бы высокие частоты распространялись быстрее, чем низкие, то вместо звуков музыки мы слышали бы резкий и отрывистый шум. Точно так же если бы красный свет двигался быстрее, чем синий, то вспышка белого света выглядела бы сначала красной, затем белой и наконец синей. Мы хорошо знаем, что такого на самом деле не происходит. И звук, и свет движутся в воздухе со скоростью, почти не зависящей от частоты. При­меры волнового движения, где этот принцип не выполняется, будут рассмотрены в гл. 48.

Для света (электромагнитных волн) мы получили формулу, определяющую электрическое поле в данной точке, которое воз­никает при ускорении заряда. Казалось бы, нам остается теперь подобным образом определить какую-нибудь характеристику воздуха, скажем давление на заданном расстоянии от источ­ника через движение источника, и учесть запаздывание при рас­пространении звука.

В случае света такой подход был приемлем, так как все наши знания сводились к тому, что заряд в одном месте дейст­вует с некоторой силой на заряд в другом месте. Подробности распространения взаимодействия из одной точки в другую были абсолютно несущественны. Но звук, как известно, распро­страняется по воздуху от источника к уху, и естественно спросить, чему равно давление воздуха в каждый данный мо­мент. Кроме того, хотелось бы знать, как именно движется воздух.

В случае электричества мы могли поверить в правило, поскольку законы электричества мы еще не проходили, но для звука это не так. Нам недостаточно сформулировать за­кон, определяющий распространение звукового давления в воздухе; этот процесс должен быть объяснен на основе законов механики. Короче, звук есть часть механики, и он должен быть объяснен с помощью законов Ньютона. Распространение звука из одной точки в другую есть просто следствие механики и свойств газов, если звук распространяется в газе, или свойств жидкостей и твердых тел, если звук проходит через эти среды. Позднее мы выведем также свойства света и его волновое дви­жение из законов электродинамики.

§ 2. Распространение звука

Давайте выведем теперь свойства распространения звука между источником и приемником, основываясь на законах Нью­тона, но не учитывая при этом взаимодействия звука с источ­ником и приемником. Обычно мы более подробно останавлива­лись на результате, а не на его выводе. В этой главе мы исполь­зуем противоположный подход. Главным здесь будет в некото­ром смысле само получение результата. Метод объяснения но­вых явлений с помощью старых, законы которых уже известны, представляет собой, пожалуй, величайшее искусство матема­тической физики. Математическая физика решает две проблемы: найти решение заданного уравнения и найти уравнения, опи­сывающие новое явление. То, чем мы будем заниматься, отно­сится как раз ко второй проблеме.

Рассмотрим простейший пример — распространение звука в одномерном пространстве. Для вывода нам сначала необхо­димо понять, что же в действительности происходит. В основе явления лежит следующий факт: когда тело перемещается в воздухе, возникает возмущение, которое как-то распростра­няется по воздуху. На вопрос, что это за возмущение, мы можем ответить: это такое движение тела, которое вызывает изменение давления. Конечно, если тело движется медленно, воздух лишь обтекает его, но нас интересует быстрое движение, когда воздух не успевает обойти вокруг тела. При этих условиях воздух в процессе движения сжимается и возникает избыточное давление, толкающее окружающие слои воздуха. Эти слои в свою очередь сжимаются, снова возникает избыточное давление, и вот начинает распространяться волна.

Опишем этот процесс на языке формул. Прежде всего решим, какие нам нужны переменные. В нашей задаче нам нужно знать, насколько переместился воздух, поэтому смещение воздуха в звуковой волне, несомненно, будет первой нашей переменной. Вдобавок хотелось бы знать, как меняется плотность воздуха при смещении. Давление воздуха тоже меняется, и это еще одна интересная переменная. Кроме того, воздух движется с некото­рой скоростью, и мы должны уметь определить скорость частиц воздуха. Частицы воздуха имеют еще и ускорение, но, записав все эти переменные, мы сразу же поймем, что и скорость, и ускорение будут нам известны, если известно смещение воздуха как функция времени.

Как уже говорилось, мы рассмотрим волну в одном измере­нии. Так можно поступить, если мы находимся достаточно да­леко от источника и так называемый фронт волны мало отли­чается от плоскости. На этом примере наше доказательство будет проще, поскольку можно сказать, что смещение c зависит только от х и t, а не от у и z. Поэтому поведение воздуха опи­сывается функцией c (х, t).

Насколько полно такое описание? Казалось бы, оно очень не полно, потому что нам не известны подробности движения молекул воздуха. Они движутся во всех направлениях, и этот факт не отражается функцией c(х, t). С точки зрения кинетиче­ской теории, если в одном месте наблюдается большая плот­ность молекул, а в соседнем меньшая, молекулы будут перехо­дить из области с большей плотностью в область с меньшей плотностью, так чтобы уравнять плотности. Очевидно, что при этом никаких колебаний не происходит и звук не возникает. Для получения звуковой волны нужно, чтобы молекулы, вы­летая из области с большей плотностью и давлением, переда-пали импульс другим молекулам, находящимся в области раз­режения. Звук возникает в том случае, если размеры области изменения плотности и давления намного больше расстояния, проходимого молекулами до соударения с другими молекулами. Это расстояние есть длина свободного пробега, и оно должно быть много меньше расстояния между гребнями и впадинами давления. В противном случае молекулы перейдут из гребня во впадину, и волна моментально выровняется.