Ричард Фейнман - 5. Электричество и магнетизм Страница 6

Дирак объяснил, что значит действительно понять уравне­ние — понять, не ограничиваясь его строгим математическим смыслом. Он сказал: «Я считаю, что понял смысл уравнения, если в состоянии представить себе общий вид его решения, не решая его непосредственно». Значит, если у нас есть способ узнать, что случится в данных условиях, не решая уравнения непосредственно, мы «понимаем» уравнения в применении к этим условиям. Физическое понимание — это нечто неточное, неопределенное и абсолютно нематематическое, но для физика оно совершенно необходимо.

Обычно курс физики подобного рода строится так, что физи­ческие представления развиваются постепенно: начиная с са­мых простейших явлений, переходят ко все более и более слож­ным. Кое-что из изученного при этом неминуемо забывается (то, что верно лишь в определенных условиях, а не всегда). К примеру, «закон» обратных квадратов для электрической силы верен не всегда. Нам больше по душе обратный подход. Луч­ше начать с полных, самых общих законов, а затем повер­нуть вспять и применять их к простым задачам, развивая фи­зические представления по мере продвижения вперед. Так мы и собираемся сделать.

Наш подход совершенно противоположен подходу истори­ческому, когда изложение слепо следует за экспериментами, в которых впервые была получена нужная информация. Но ведь физику развивают множество очень умных людей уже свыше 200 лет, а у нас времени мало и нам нужно овладеть зна­ниями побыстрее. Поэтому мы не можем охватить все, что они сделали. Так что в этих лекциях мы будем вынуждены прене­бречь историей предмета и не будем рассказывать об опытах. Мы надеемся, что вы восполните пропущенное на лабораторных занятиях; и, конечно, очень полезно почитать статьи и книги по истории физики.

§ 2. Скалярные и векторные поля — Т и h

Мы начинаем сейчас рассмотрение абстрактного, математи­ческого подхода к теории электричества и магнетизма. Наша цель — объяснить смысл законов, написанных в гл. 1. Но для этого надо сперва объяснить новые особенные обозначения, которые мы хотим использовать. Давайте поэтому на время позабудем электромагнетизм и разберемся в математике век­торных полей. Она очень важна не только в электромагнетизме, но и во многих физических обстоятельствах, подобно тому как обычное дифференциальное и интегральное исчисление важно во всех областях физики. Мы переходим к дифференциальному исчислению векторов.

Ниже перечислены некоторые сведения из алгебры векторов. Считается, что вы с ними уже знакомы

Мы будем также пользоваться следующими двумя равенствами:

Фиг. 2.1. Температура Т — пример скалярного поля. С каждой точкой (х, у, z) в прост­ранстве связывается число Т(х, у, z). Все точки на поверхности с помет­кой Т=20° (изображенной в виде кривой при z=0) имеют одну и ту же температуру. Стрелки — это примеры вектора потока тепла h.

Уравнение (2.7) справедливо, конечно, только при Dx; Dy и Dz®0.

Простейшее из физических полей — скалярное. Полем, как вы помните, называется величина, зависящая от положения в пространстве. Скалярное поле — это просто такое поле, кото­рое в каждой точке характеризуется одним-единственным чис­лом — скаляром. Это число, конечно, может меняться во вре­мени, но пока мы на это не будем обращать внимания. (Речь будет идти о том, как поле выглядит в данное мгновение.) В ка­честве примера скалярного поля рассмотрим брусок из какого-то материала. В одних местах брусок нагрет, в других — осту­жен, так что его температура меняется ют точки к точке каким-то сложным образом. Температура тогда будет функцией х, у и z — положения в пространстве, измеренного в прямоугольной си­стеме координат. Температура — это скалярное поле.

Один способ представить себе скалярное поле — это вообра­зить «контуры»,

т. е. мысленные поверхности, проведенные через точки с одинаковыми значениями поля, подобно гори­зонталям на картах, соединяющим точки на одной высоте над уровнем моря. Для температурного поля контуры носят назва­ние «изотермические поверхности», или изотермы. На фиг. 2.1 показано температурное поле и зависимость Т от х и у при z=0. Проведено несколько изотерм.

Поля бывают также векторными. Идея их очень проста. В каждой точке пространства задается вектор. Он меняется от точки к точке. Рассмотрим в виде примера вращающееся тело. Скорость материала тела во всякой точке — это вектор, кото­рый является функцией ее положения (фиг. 2.2). Другой при­мер — поток тепла в бруске из некоторого материала. Если в одной части бруска температура выше, а в другой — ниже, то от горячей части к холодной будет идти поток тепла. Тепло в разных частях бруска будет растекаться в различных направ­лениях. Поток тепла — это величина, имеющая направление;

Фиг. 2.2. Скорости атомов во вращающемся теле — пример век­торного поля.

обозначим ее h; длина этого вектора пусть измеряет количество протекающего тепла. Векторы потока тепла также изображены на фиг. 2.1.

Определим теперь h более точно. Длина вектора потока тепла в данной точке — это количество тепловой энергии, про­ходящее за единицу времени и в пересчете на единицу площади сквозь бесконечно малый элемент поверхности, перпендикуляр­ный к направлению потока. Вектор указывает направление потока (фиг. 2.3). В буквенных обозначениях: если DJ — теп­ловая энергия, протекающая за единицу времени сквозь эле­мент поверхности Dа, то

(2.9)

где еf — единичный вектор направления потока Вектор h можно определить и иначе — через его компонен­ты. Зададим себе вопрос, сколько тепла протекает через малую поверхность под произвольным углом к направлению потока. На фиг. 2.4 мы изобразили малую поверхность Аa2 под некото­рым углом к поверхности Dat, которая перпендикулярна к по­току. Единичный вектор n перпендикулярен к поверхности

Фиг.2.3.Тепловой поток— векторное поле. Вектор h указывает направление потока. Абсолютная величина его выражает энергию, переносимую за единицу времени через элемент по­верхности, ориентированный попе­рек потока, деленную на площадь элемента поверхности.

Фиг. 2.4. Тепловые потоки сквозь Aа2 и сквозь Aa1 одинаковы.

Aа2. Угол q между n и h равен углу между поверхностями (так как h — нормаль к Da1). Чему теперь равен поток тепла че­рез Dа2 на единицу площади? Потоки сквозь Dа2 и Dа1 равны между собой, отличаются только площади. Действительно, Dа1 = Dа2cosq. Поток тепла через Dа2 равен

(2.10)

Поясним это уравнение: поток тепла (в единицу времени и на единицу площади) через произвольный элемент поверхности с единичной нормалью n равен h·n. Можно еще сказать так: компонента потока тепла, перпендикулярная к элементу по­верхности Dа2, равна h·n. Можно, если мы хотим, считать эти утверждения определением h. Сходные идеи мы применим и к другим векторным полям.

§ 3. Производные полей — градиент

Когда поля меняются со временем, то их изменение можно описать, задав их производные по t. Мы хотим также описать и их изменение в пространстве, потому что мы интересуемся связью, скажем, между температурой в некоторой точке и в точке с ней рядом. Как же задать производную температуры по координате? Дифференцировать температуру по х? Или по у, или по z?

Осмысленные физические законы не зависят от ориентации системы координат. Поэтому их нужно писать так, чтобы по обе стороны знака равенства стояли скаляры или векторы. Что же такое производная скалярного поля, скажем, дТ/дх? Скаляр ли это, или вектор, или еще что? Это, как легко понять, ни то ни другое, потому что если взять другую ось х, то дТ/дх изменится. Но заметьте: у нас есть три возможных производ­ных: дТ/дх, дТ/ду и dT/dz. Три сорта производных, а ведь мы знаем, что нужно как раз три числа, чтобы образовать вектор.

Может быть, эти три производные и представляют собой ком­поненты вектора:

(2.11)

Ясно, конечно, что, вообще говоря, не из любых трех чисел можно составить вектор. О векторе можно говорить только тогда, когда при повороте системы координат компоненты пре­образуются по правильному закону. Так что следует просле­дить, как меняются эти производные при повороте системы координат. Мы покажем, что (2.11) — действительно вектор. Производные действительно преобразуются при вращении си­стемы координат так, как полагается.