Ричард Фейнман - 5. Электричество и магнетизм Страница 8

(Вектор)·С или С· (Вектор).

Первое выражение пока что ничего не означает — это все еще оператор. Окончательный смысл его зависит от того, на что он Судет действовать. А второе произведение — это некое скаляр­ное поле (потому что А·В — всегда скаляр).

Попробуем составить скалярное произведение С на извест­ное поле, скажем на h. Распишем покомпонентно

(2.32)

(2.33)

Эта сумма инвариантна относительно преобразования координат. Если выбрать другую систему (отмеченную штрихами), то получилось бы

(2.34)

а это — то же самое число, которое получилось бы и из (2.33), хотя с виду оно выглядит иначе, т. е.

(2.35)

в любой точке пространства. Итак, С·h — это скалярное поле, и оно должно представить собой некоторую физическую вели­чину. Вы должны понимать, что комбинация производных в С·h имеет довольно специальный вид. Могут быть и другие комбинации всяческого вида, скажем dhy/dx, которые не яв­ляются ни скалярами, ни компонентами векторов.

Скалярная величина С· (Вектор) очень широко применяется в физике. Ей присвоили имя «дивергенция», или «расходимость». Например,

С·h = div h = «Дивергенция h». (2.36)

Можно было бы, как и для СT, описать физический смысл С·h. Но мы отложим это до лучших времен.

Посмотрим сначала, что еще можно испечь из векторного оператора С. Как насчет векторного произведения? Можно на­деяться, что

(2.37)

Компоненты этого вектора можно написать, пользуясь обыч­ным правилом для векторного произведения [см. (2.2)]:

(2.38)

Подобно этому,

(2.39)

(2.40)

Комбинацию СXh называют «ротор» (пишут rot h), или (редко) «вихрь h» (пишут curl h). Происхождение этого назва­ния и физический смысл комбинации мы обсудим позже.

В итоге мы получили три сорта комбинаций, куда входит С:

СТ = grad T = Вектор,

С·h=divh = Скаляр,

СXh = roth = Вектор.

Используя эти комбинации, можно пространственные вариации полей записывать в удобном виде, т. е. в виде, не зависящем от той или иной совокупности осей координат.

В качестве примера применения нашего векторного диф­ференциального оператора С выпишем совокупность вектор­ных уравнений, в которой содержатся те самые законы электро­магнетизма, которые мы словесно высказали в гл. 1. Их назы­вают уравнениями Максвелла.

Уравнения Максвелла

(2.41)

где r (ро) — «плотность электрического заряда» (количество заряда в единице объема), a j — «плотность электрического тока» (скорость протекания заряда сквозь единицу площади). Эти четыре уравнения содержат в себе законченную классиче­скую теорию электромагнитного поля. Видите, какой элегант­ной и простой записи мы добились с помощью наших новых обозначений!

§ 6. Дифференциальное уравнение потока тепла

Приведем другой пример векторной записи физического закона. Этот закон не из точных, но во многих металлах и других материалах, проводящих тепло, он проявляется со­вершенно четко. Известно, что если взять плиту из какого-то материала и нагреть одну ее сторону до температуры Т2, а дру­гую охладить до Т1 , то тепло потечет от T2к Т1(фиг. 2.7, а). Поток тепла пропорционален площади торцов А и разнице температур. Кроме того, он обратно пропорционален расстоя­нию между торцами. (Для заданной разницы температур чем тоньше плита, тем мощнее поток тепла.).

Фиг. 2.7. Тепловой по­ток через плиту (а) и бесконечно малая плит­ка, параллельная изо­термической поверхно­сти в большом блоке вещества (б).

Обозначая через J тепловую энергию, проходящую сквозь плиту за единицу вре­мени, мы напишем

Что произойдет в более сложных случаях, скажем, в блоке материала необычной формы, в котором температура как-то прихотливо меняется? Рассмотрим тонкий слой материала и представим себе плиту наподобие изображенной на фиг. 2.7, а, но в миниатюре. Ориентируем ее торцы параллельно изотерми­ческим поверхностям (фиг. 2.7, б), так что для этой малой плиты выполняется уравнение (2.42).

Если площадь этой плиты DА, то поток тепла за единицу времени равен

(2.42)

Коэффициент пропорциональности c (каппа) называется тепло­проводностью.

(2.43)

где Ds — толщина плиты. Но DJ/DA мы раньше определили как абсолютную величину h — вектора, направленного туда, куда течет тепло. Тепло течет от T1 + DT к T1,так что вектор h перпендикулярен изотермам (фиг. 2.7, б). Далее, DТ/Ds как раз равно быстроте изменения Т с изменением положения. А по­скольку изменения положения перпендикулярны изотермам, то наше AT/As — это максимальная скорость изменения. Она равна поэтому величине у Т. И, наконец, раз направления СТ и h противоположны, то (2.43) можно записать в виде вектор­ного уравнения

h = - cСТ. (2.44)

(Знак минус написан потому, что тепло течет в сторону пониже­ния температуры.) Уравнение (2.44) — это дифференциальное уравнение теплопроводности в массиве вещества. Вы видите, что это чисто векторное уравнение. С обеих сторон стоят векторы (если x число). Это обобщение на произвольный случай частного соотношения (2.42), верного для прямоугольной плиты.

Мы с вами должны будем научиться выписывать все соот­ношения элементарной физики [наподобие (2.42)] в этих хитро­умных векторных обозначениях. Они полезны не только потому, что уравнения начинают от этого выглядетъ проще. В них намного яснее проступает физическое содержание уравнений безотносительно к выбору системы координат.

§ 7. Вторые производные векторных полей

Пока мы имели дело только с первыми производными. А почему не со вторыми? Из вторых производных можно соста­вить несколько комбинаций:

(2.45)

Вы можете убедиться, что никаких иных комбинаций быть не может.

Посмотрим сперва на вторую комбинацию (б). Она имеет ту же форму, что и

АX(АT) = (АXА)T = 0, потому что АXА всегда нуль. Значит,

(2.46)

Можно понять, как это получается, если расписать одну из компонент:

что равно нулю [по уравнению (2.8)]. Это же верно и для других компонент. Стало быть, СХ(СT)=0 для любого распределе­ния температур, да и для всякой скалярной функции.

Возьмем второй пример. Посмотрим, нельзя ли получить нуль другим путем. Скалярное произведение вектора на век­торное произведение, содержащее этот вектор, равно нулю

А·(АХВ) = 0, (2.48)

потому что АХВ перпендикулярно к А и не имеет тем самым составляющих вдоль А. Сходная комбинация стоит в списке (2.45) под номером (г):

С(СXh) = div(roth) = 0. (2.49)

В справедливости этого равенства опять-таки легко убедиться, проделав выкладки на компонентах.

Теперь сформулируем без доказательства две теоремы. Они очень интересны и весьма полезны для физиков.

В физических задачах часто оказывается, что ротор какой-то величины (скажем, векторного поля А) равен нулю. Мы видели в уравнении (2.46), что ротор градиента равен нулю. (Это легко запоминается по свойствам векторов.) Далее, может оказаться, что А будет градиентом какой-то величины, потому что тогда ротор А с необходимостью обратится в нуль. Имеется интерес­ная теорема, утверждающая, что если ротор А есть нуль, то тогда А непременно окажется чьим-то градиентом; существует некоторое скалярное поле ш; (пси), такое, что A=gradш. Иными словами, справедлива

Т Е О Р Е М А

Если СXА = 0,

то имеется ш, (2.50)

такое, что А = Сш.

. Сходная теорема формулируется и для случая, когда ди­вергенция А есть нуль. Из уравнения (2.49) видно, что дивер­генция ротора любой величины равна всегда нулю. Если вам случайно встретилось векторное поле D, для которого div D — нуль, то вы имеете право заключить, что D это ротор некоторого векторного поля С.

ТЕОРЕМА

Если С·D = 0,

то имеется С, (2.51)

такое, что D = СXC.

Перебирая всевозможные сочетания двух операторов у, мы обнаружили, что два из них всегда дают нуль. Займемся теперь теми, которые не равны нулю. Возьмем комбинацию С· (СT), первую в нашем списке. В общем случае это не нуль. Выпишем компоненты

Далее,