Ноль: биография опасной идеи - Сейфе Чарльз Страница 3

Древние фараоны назначали землемеров для оценки ущерба и восстановления разметки полей – так и родилась геометрия. Землемеры, или натягиватели веревок (называвшиеся так по своим измерительным приспособлениям: веревкам с узлами, благодаря которым можно было определить прямой угол), со временем научились определять площадь участков земли, разделяя их на прямоугольники и треугольники. Египтяне также научились измерять объемы объектов – таких, как пирамиды. Египетские математики были знамениты по всему Средиземноморью; вероятно, древнегреческие геометры – Фалес и Пифагор – учились в Египте. Однако несмотря на блестящие достижения, ноль в Египте так и не появился.

Причина была отчасти в том, что египтяне интересовались только практической стороной дела. Они так и не пошли дальше измерения объемов и подсчета дней и часов. Математика не использовалась для чего-либо отвлеченного, если не считать астрологии. В результате даже лучшие египетские математики не могли использовать принципы геометрии там, где это не было связано с реальным миром: они не превратили свою математическую систему в абстрактную систему логики. Они также не соотносили математику с философией. Греки отличались от египтян тем, что пользовались абстракциями и философскими категориями; они довели математику до ее верхней точки в древности. Однако не греки открыли ноль. Ноль пришел с Востока, а не с Запада.

Рождение ноля

В истории культуры открытие ноля всегда будет примером одного из самых замечательных достижений человечества.

Греки понимали математику лучше египтян. Овладев египетским искусством геометрии, они быстро превзошли своих учителей.

Сначала греческая система чисел была очень сходна с египетской. Греки тоже использовали как основу число 10, и в том, как две культуры записывали числа, разница была невелика: вместо рисунков, как египтяне, греки для обозначения чисел использовали буквы. Буква «Η» («эта») обозначала hekaton – «сто»; «М» («мю») – myriory – «десять тысяч» («мириада» – самый большой разряд в греческой системе). У греков был также символ для числа 5, что указывало на смешение пятеричной и десятеричной систем, в целом же греческая и египетская системы записи чисел были почти одинаковы – на некоторое время. Потом греки переросли этот примитивный способ записи чисел и создали более изощренную систему.

Рис. 1. Изображение чисел в различных культурах:

Вместо того чтобы использовать две черточки для обозначения цифры 2 или три «H» для обозначения 300, как это делалось бы в «египетском» стиле, новая греческая система, появившаяся около 500 года до н. э., использовала отдельные значки для изображения 2, 3, 300 и многих других чисел (рис. 1). Таким образом, греки избавлялись от повторения цифр. Например, запись числа 87 в египетской системе требовала бы пятнадцать символов: восемь пяток и семь вертикальных черточек. В новой греческой системе требовалось всего два символа: ϖ для 80 и ζ для 7. (Римская система, сменившая греческую, была шагом назад; запись римскими цифрами – LXXXVII – потребовала бы семи символов с несколькими повторениями.)

Хотя греческая система была изощренней египетской, она не обеспечивала самого прогрессивного способа записи чисел в древнем мире. Эта честь принадлежит другому восточному изобретению: вавилонскому способу счета. Благодаря этой системе на Востоке, в Плодородном полумесяце, появился ноль.

На первый взгляд, вавилонская система представляется извращенной. Во-первых, она шестидесятерична – имеет в основе число 60. Такой выбор кажется странным, особенно если учесть, что большинство человеческих обществ выбирали в этом качестве числа 5, 10 или 20. Во-вторых, вавилоняне использовали только два значка для изображения чисел: клинышек, обозначавший единицу, и двойной клинышек, обозначавший десять. Группы этих значков, объединенных в семейства, содержащие 59 или меньше значков, были базовыми символами системы чисел, так же, как греческая система использовала буквы, а египетская – рисунки. Однако действительно странной особенностью вавилонской системы было то, что вместо использования разных символов для каждого числа, как в египетской и греческой системах, каждый символ мог изображать множество разных чисел. Единственный клинышек, например, мог изображать 1, 60, 3600 и сколько угодно других чисел.

Каким бы странным это ни казалось на современный взгляд, для древних людей это было вполне осмысленно: таков был эквивалент компьютерного кода бронзового века. Вавилоняне, как и представители многих других культур, изобрели приспособления, помогавшие им в счете. Наиболее знаменит из них абак. Известный как «соробан» в Японии, «цзе-суан-пан» в Китае, «счеты» в России, «кулба» в Турции, «хореб» в Армении и под множеством других названий в разных культурах, абак использует перемещающиеся камешки для обозначения количества. (Слова «калькулировать», «калькулюс» и «кальций» происходят от латинского слова calculus – камешек.)

Сложение чисел на абаке столь же просто, как перемещение камешков вверх и вниз. Камешки в разных колонках имеют разную цену и, манипулируя ими, умелый пользователь может быстро складывать большие числа. Когда подсчет закончен, все, что нужно сделать пользователю, – это посмотреть на окончательное расположение камешков и перевести увиденное в число – довольно простая операция.

Вавилонская система походила на абак, символически изображенный на глиняной табличке. Каждая группа символов соответствовала определенному числу камешков, двигавшихся на абаке, и как каждая колонка абака, каждая группа имела собственное, отличное от других значение, в зависимости от положения. В этом смысле вавилонская система не отличалась от той, которой мы пользуемся сегодня. Каждая единица в числе 111 имеет особое значение: справа налево – это 1, 10 и 100 соответственно. Подобным же образом символ в трех разных положениях в числе означал «один», «шестьдесят» или «три тысячи шестьсот». Все было, как на абаке, за исключением единственной проблемы. Как вавилонянин записал бы число 60? Цифру 1 написать было легко: ; к несчастью, 60 тоже записывалось как – с тем единственным отличием, что значок должен стоять на втором месте, а не на первом. На абаке легко определить, какое число представлено. Один камешек в первой колонке легко отличить от одного камешка во второй колонке. Этого нельзя сказать о записи чисел. Вавилоняне не имели способа определить, в какой колонке стоит написанный символ; мог представлять и 1, и 60, и 3600. С числами, в которые входило несколько значков, дело обстояло еще хуже: это могло быть 61, 3601, 3660 и больше.

Решением этой проблемы был ноль. Около 300 года до н. э. вавилоняне начали использовать два наклонных клинышка для обозначения пустого места: пустой колонки абака. Символ-заполнитель позволял с легкостью определить, к какому разряду принадлежит значащий символ. До появления ноля значок мог означать 61 или 3601; благодаря использованию ноля он означал 61; 3601 обозначался как (рис. 2). Ноль родился из потребности дать каждой последовательности вавилонских цифр единственное постоянное значение.