Владимир Живетин - Технический риск (элементы анализа по этапам жизненного цикла ЛА) Страница 11

3. Схема дискретизации траектории по времени: непрерывная; дискретная – погрешность δ23.

4. Схема квантования значений реализаций по уровню: без квантования (непрерывнозначный; аналоговый); с квантованием всех значений (цифровой); с квантованием части значений – погрешность δ24.

5. Добавление вспомогательных сигналов – погрешность δ25.

6. Преобразование по формулам оценивания – погрешность δ26:

– количество значений, используемых в качестве результата измерения одной величины (одноинтервальный – две точки) – δ261;

– способ оценивания (параметрический, непараметрический) – δ262;

– объем исходных данных (фиксированный или переменный) – δ263;

– принцип реализации вычислительных операций (детерминированный, стохастический) – δ264;

– принцип организации вычислительного процесса (формул связи текущего значения с предшествующим): одношаговый; многошаговый – δ265;

– метод вычислений: с фиксированным числом операций; с переменным числом операций – δ266;

– вид измеряемой величины (скалярный, векторный): детерминированная, постоянная; реализация случайного элемента (байесовский) – δ267;

– суммарная погрешность на данном этапе имеет вид: .

7. Схема изменения аргумента модели в процессе усреднения: аргумент остается постоянным; аргумент изменяется по заданному закону – погрешность δ27.

8. Получение конечного результата: непосредственно по исходным данным (прямой); пересчетом результатов измерения других характеристик, т. е. косвенным методом – погрешность δ28.

9. Аналитическое описание результатов измерения: без аналитического описания; с аналитическим описанием – погрешности δ29.

10. Учет априорных и апостериорных данных: наличие адаптации (без и при наличии) к априорным и апостериорным (первичным, вторичным) данным – погрешности δ210.

Суммарная погрешность модели физической системы, которую мы заложили при построении ее математической модели в процессе эксперимента, записывается в виде

Предположим, что построена математическая модель случайного процесса, т. е. построен, например, алгоритм, связывающий выходной процесс x(t) с входным процессом y(t), характеристики которого заданы в виде x(t) = ψ(y(t),δ2i), где ψ – оператор преобразования. Наличие погрешностей δ2i заставляет нас искать показатели качества алгоритма, которые являются характеристикой соответствия алгоритма его назначению, т. е. пригодность алгоритма для получения решения поставленной задачи и близость достижения цели.

Рассмотрим критерий применимости упрощенных математических моделей изучаемых динамических систем. Зададим Р1, Р2 и Р3 Предположим, х = mх + Δx, где mх – математическое ожидание х; Δx – отклонение х от его среднего значения (mx). В этом случае вероятность Р1 можно записать так [6]:

где а = хвдоп – mx; b = ходоп – mx – δx; W1, W2 – плотности вероятностей Δх, δх.

Выбирая ту или иную модель М2, мы изменяем W2(δх), оставляя W1(Δх) неизменной. Можно показать, что при возрастании дисперсии σ2(δх) условие Р1 = const выполняется, если запас Δ = хдоп – ходоп увеличивается. Очевидно, что существует то значение σ2(δх), при котором Δ очень велико и эффективность применения такого объекта недопустимо мала (рис. 1.18).

Рис. 1.18

Таким образом, переход к упрощенной модели при проведении НИР приводит к уменьшению области допустимых состояний ограничиваемого параметра х.

Задача разработчика проекта: наложить ограничения на Δ и принять ее равной Δ*. Все модели, для которых Δ ≤ Δ*, будут допустимы для целей анализа и синтеза. Таким образом, проблема анализа риска и управления им включает в себя: построение плотностей вероятностей фактических хф = mx(t) + Δx(t) и измеренных (оценочных) хизм = хф(t) + δх(t) значений процессов, подлежащих контролю и ограничению. Для построения плотностей вероятностей W1(xф) или W1(Δx), а также W2(xизм) или W2(δx) необходимы соответствующие математические модели. Построению таких моделей посвящена данная работа.

1.7.2. Модели плотностей вероятностей случайных процессов

Для расчета технического риска необходимо иметь плотность вероятностей ограничиваемых параметров, представляющих собой, как правило, случайные процессы. Для аналитического построения искомых плотностей вероятностей необходима математическая модель случайного процесса, а также внешних и внутренних возмущающих факторов. Для решаемой задачи математическая модель движения самолета представляет, в достаточно общем виде, систему нелинейных дифференциальных уравнений, на вход которой поступает белый шум [6]. При этом на выходе системы (модели) получают многомерный марковский процесс, что существенно упрощает нахождение плотностей вероятностей W(·) аналитическим методом. С этой целью используется математический аппарат уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК). Однако при размерности вектора x(t) ограничиваемых параметров больше трех, решение ФПК-уравнения представляет собой трудноразрешимую задачу. В этом случае используют различные процедуры, упрощающие вычисления W(xi,t), где xi – процесс, подлежащий контролю, ограничению и прогнозированию, т. е. вычислению xi(t + Δt), где Δt > 0, а также моделированию его с помощью известных технических средств.

Пусть задана техническая система (объект), на выходе которой возможна регистрация процесса xi = z(t). Требуется построить математическую модель процесса z(t). Пусть поставлен эксперимент, в котором измерены значения z(t) с погрешностями δ2Σ, в результате получено z(t) = zф + δ2Σ, где zф – фактическое значение z(t); для z(t) построены одномерная плотность распределения ω(z) и корреляционная функция Bz(τ). Построение математической модели процесса z(t) осуществляется в три этапа.

На первом этапе производится аппроксимация одномерной плотности распределения ω(z) изучаемого процесса z(t) плотностью S-распределения Джонсона [19, 20]. При этом исключаются из рассмотрения те процессы, которые не могут быть аппроксимированы указанным образом. Поскольку класс плотностей S-распределения Джонсона образован тремя семействами (SB, SU и SL-распределения), то аппроксимация распределений ω(z) заключается в выборе соответствующего семейства плотностей S-распределения и в определении его параметров. Процедура такой аппроксимации описана в работе [6]. Следует только добавить, что исходной информацией для аппроксимации являются первые четыре момента распределения процесса z(t), которые, в общем случае, следует предварительно вычислить. Для некоторых видов плотности распределения ω(z) эти моменты указаны в справочной литературе. После того, как для ω(z) определено соответствующее S-распределение, для построения математической модели искомого процесса z(t) необходимо описать нормированный гауссовский процесс y(t) и подвергнуть его нелинейному преобразованию Джонсона. Указанное преобразование будет иметь вид

если плотность ω(z) представима в виде плотности SB-распределения Джонсона;

если плотность ω(z) пред ставима в виде плотности SU-распределения Джонсона;

если плотность ω(z) представима в виде плотности SL-распределения Джонсона.

Входящие в выражения (1.10)÷(1.12) параметры λ, γ, η и ε являются параметрами, соответствующими S-распределению Джонсона. Таким образом,

z(t) = ψj(y(t)),                  (113)

где 1 ≤ j ≤ 3 в зависимости от вида плотности S-распределения Джонсона, аппроксимирующей заданную плотность ω(z).

Для того, чтобы случайный процесс z(t) имел заданную корреляционную функцию Bz(τ), необходимо подобрать соответствующую функцию (обозначим ее ρy(τ)) нормированному гауссовскому процессу y(t), подвергаемому нелинейному преобразованию ψj(·) (1 ≤ j ≤ 3). Поэтому на втором этапе проводится расчет корреляционной функции ρy(r), который осуществляется по формуле

где

Нn – полином Эрмита n-й степени. Расчет заключается в получении набора значений ρy(τi) корреляционной функции случайного процесса y(t), соответствующих выбранным значениям τi ее аргумента и удовлетворяющих (1.14). При проведении конкретных расчетов ряд, стоящий в правой части этого равенства, необходимо ограничить несколькими первыми членами; количество оставленных членов должно быть таким, чтобы обеспечивалась требуемая точность выдерживания указанного равенства.