Аурика Луковкина - Радиотехника. Шпаргалка Страница 3

Цепь является линейной, если линейны составляющие ее элементы. Элемент, подчиняющийся закону Ома, называют линейным. Жестких границ в природе нет. Один и тот же элемент в одних условиях проявляет себя как линейный, в других – как нелинейный.

Типичными нелинейными элементами, часто используемыми в радиотехнических цепях и устройствах, являются электронные приборы (электронные лампы, полупроводниковые диоды, транзисторы).

Электрические свойства линейной радиотехнической цепи определяются индуктивностью L, емкостью C и сопротивлением R.

Если эти параметры не зависят от времени, радиотехническую цепь называют цепью с постоянными параметрами. Важную роль в радиотехнике играют цепи, параметры которых являются функцией времени.

Цепь с зависящими от времени параметрами называют параметрической. В реальной системе имеются как сосредоточенные, так и распределенные по ее длине параметры L, R, C (проводники, соединяющие элементы между собой и т. д.).

Системы с сосредоточенными параметрами называют квазистационарными. Напряжение на различных участках квазистационарной системы и силы тока в них зависят только от времени и не зависят от координат.

В ряде случаев L, R, C – параметры системы – принципиально нельзя считать сосредоточенными, так как они равномерно распределены по всей длине системы (например, длинные линии и антенны). Размеры систем с распределенными параметрами сравнимы с длиной волны, поэтому сила тока в них и напряжение зависят не только от времени, но и от координат.

Линейные системы описываются линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями в полных производных по времени в случае квазистационарных систем или в частных производных по времени и координате в случае волновых систем.

Параметрические системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными (т. е. зависящими от времени) коэффициентами.

Важным свойством линейных систем как с постоянными, так и с переменными параметрами является справедливость для них принципа суперпозиции: отклик линейной системы на внешнее воздействие, являющееся суммой нескольких воздействий, может быть получен как сумма (суперпозиция) откликов на каждое воздействие в отдельности.

В нелинейной системе принцип суперпозиции не выполняется, что с математической точки зрения обусловлено нелинейностью уравнений, описывающих систему.

9. Свободные колебания в LC-контуре

Простой и широко используемой в радиотехнике линейной системой с постоянными параметрами является колебательный контур, содержащий конденсатор C, катушку индуктивности L и сопротивление R. Пусть в момент времени t = 0 на конденсаторе имеется заряд q0 = CU0. Закон изменения заряда на конденсаторе найдем на основе закона Кирхгофа:

 (14)

Учитывая, что  и вводя обозначение  (a коэффициент затухания, ω – собственная частота контура), представим (14) в виде

 (15)

Аналогичные уравнения получаются для напряжений на элементах L и C и для силы тока в контуре. Если ω02 >> α2, решение уравнения (15) записывается в виде:

q = qme-atcos(ωt + φ), (16)

где .

Таким образом, при ω02 >> а2 зависимость заряда на конденсаторе от времени имеет характер затухающего колебания, частота которых ω, называемая частотой свободных колебаний, несколько меньше собственной частоты контура ω0. Ток в контуре также совершает затухающие колебания:

Начальная амплитуда колебаний:

Важным параметром колебательного контура является добротность Q, характеризующая относительное уменьшение энергии в процессе колебаний:

 (17)

где W запасенная энергия,

Wt – энергия, теряемая за период.

В цепях постоянного тока существует лишь механизм потери энергии. Это потери на нагревание проводников, определяемые законом Джоуля – Ленца:

PОм = I2RОм,

где  – омическое сопротивление.

Связанные с RОм потери энергии называют омическими потерями. В цепях переменного тока, особенно при высокой частоте колебаний, появляются дополнительные механизмы потери энергии, потери на излучение потери в диэлектрике конденсаторов, потери, связанные с токами Фуко и гистерезисом (если катушки индуктивности имеют ферромагнитные сердечники) и др.

Добротность контура определяется по формуле:

10. Вынужденные колебания в последовательном контуре

Контур подключен к источнику внешней гармонической электродвижущей силы с амплитудой ξm и начальной фазой φе (рис. 3).

e = ξmcos(ω)t + φe) (19)

В соответствии с законом Кирхгофа получаем:

 (20)

где .

Рис. 3

При нахождении амплитуды и начальной фазы вынужденных колебаний пользуются методом комплексных амплитуд.

 (21)

Комплексную величину

называют полным сопротивлением или импендансом последовательного контура;

где R – активное,

 – реактивное сопротивление контура.

Из условия равенства нулю реактивного сопротивления определяется резонансная частота контура:

При частоте ЭДС меньше резонансной реактивное сопротивление отрицательно и бесконечно возрастает при w → 0, т. е. при Х > 0 и бесконечно возрастает при ω → ω0, последовательный контур эквивалентен индуктивности Lэкв. Поведение сложных цепей описывают с помощью понятий эквивалентного сопротивления, эквивалентной емкости, эквивалентной индуктивности.

К комплексным амплитудам применимы правила Кирхгофа. При последовательном соединении элементов, складываются импендансы, при параллельном – обратные величины.

i = Imejωt

где Im – комплексная амплитуда силы тока в контуре.

Воспользовавшись показательной формой представления комплексных чисел, получим:

 (24)

откуда ImejφI Zejφz = ξejφe.

При ω = ω0, х = 0 из следует, что при резонансе φI φe = 0, т. е. отсутствует сдвиг фаз между ЭДС и током.

11. Линейный четырехполюсник. Характеристики четырехполюсника

Задачей линейных цепей является передача и фильтрация сигналов в тракте канала радиосвязи.

Радиотехническую цепь, через которую проходит сигнал, часто можно представить в виде четырехполюсника – устройства, имеющего два входных и два выходных зажима.

Если четырехполюсник представляет собой линейную цепь с постоянными параметрами то при подаче на его вход синусоидального сигнала Uвх c некоторой амплитудой, частотой и фазой на выходе появится также синусоидальный сигнал Uвых той же частоты, однако амплитуда и фаза могут быть иными. При прохождении сигнала через линейный четырехполюсник с постоянными параметрами изменяется его комплексная амплитуда.

Линейный четырехполюсник характеризуется комплексным коэффициентом передачи:

(25)

Модуль коэффициента передачи К(ω) дает отношение действительных амплитуд выходного и входного напряжений, а аргумент (φк(ω) – изменение начальной фазы выходного напряжения по сравнению с входным.

Пусть требуется обеспечить неискаженную передачу сигнала Uвх(t) через некоторый четырехполюсник Сигнал на выходе будет иметь вид:

(26)

В идеальном случае при прохождении через четырехполюсник все спектральные составляющие входного сигнала должны изменяться по амплитуде в одинаковое число раз k и испытывать одинаковое запаздывание t0 во времени. Для неискаженного воспроизведения сигнала комплексный коэффициент передачи четырехполюсника должен иметь вид: