М. Бабаев - Гидравлика Страница 6

С помощью пяти уравнений легко находятся пять неизвестных: p, Ux, Uy, Uz, ρ.

Невязкую жидкость можно описать и другим уравнением

24. Форма Громеки уравнения движения невязкой жидкости

Уравнения Громеки – попросту другая, несколько преобразованная форма записи уравнения Эйлера.

Например, для координаты x

Чтобы его преобразовать, используют уравнения компонентов угловой скорости для вихревого движения.

Преобразовав точно так же y-вую и z-вую компоненту, окончательно приходим к форме Громеко уравнения Эйлера

Уравнение Эйлера было получено российским ученым Л. Эйлером в 1755 г., и преобразовано в вид (2) опять же российским ученым И. С. Громекой в 1881 г

Уравнение Громеко (под воздействием массовых сил на жидкость):

Поскольку

– dП = Fxdx + Fydy + Fzdz, (4)

то для компонентов Fy, Fz можно вывести те же выражения, что и для Fx, и, подставив это в (2), прийти к (3).

25. Уравнение Бернулли

Уравнение Громеки подходит для описания движения жидкости, если компоненты функции движения содержат какуююто вихревую величину. Например, эта вихревая величина содержится в компонентах ωx, ωy,ωz угловой скорости w.

Условием того, что движение является установившимся, является отсутствие ускорения, то есть условие равенства нулю частных производных от всех компонентов скорости:

Если теперь сложить

то получим

Если проецировать перемещение на бесконечно малую величину dl на координатные оси, то получим:

dx = Uxdt; dy = Uy dt; dz = Uzdt. (3)

Теперь помножим каждое уравнение (3) соответственно на dx, dy, dz, и сложим их:

Предположив, что правая часть равна нулю, а это возможно, если вторая или третья строки равны нулю, получим:

Нами получено уравнение Бернулли

26. Анализ уравнения Бернулли

это уравнение есть не что иное, как уравнение линии тока при установившемся движении.

Отсюда следуют выводы:

1) если движение установившееся, то первая и третья строки в уравнении Бернулли пропорциональны.

2) пропорциональны строки 1 и 2, т. е.

Уравнение (2) является уравнением вихревой линии. Выводы из (2) аналогичны выводам из (1), только линии тока заменяют вихревые линии. Одним словом, в этом случае условие (2) выполняется для вихревых линий;

3) пропорциональны соответствующие члены строк 2 и 3, т. е.

где а – некоторая постоянная величина; если подставить (3) в (2), то получим уравнение линий тока (1), поскольку из (3) следует:

ωx= aUx; ωy= aUy; ωz= aUz. (4)

Здесь следует интересный вывод о том, что векторы линейной скорости и угловой скорости сонаправлены, то есть параллельны.

В более широком понимании надо представить себе следующее: так как рассматриваемое движение установившееся, то получается, что частицы жидкости движутся по спирали и их траектории по спирали образуют линии тока. Следовательно, линии тока и траектории частиц – одно и то же. Движение такого рода называют винтовым.

4) вторая строка определителя (точнее, члены второй строки) равна нулю, т. е.

ωx= ωy= ωz= 0. (5)

Но отсутствие угловой скорости равносильно отсутствию вихревости движения.

5) пусть строка 3 равна нулю, т. е.

Ux = Uy = Uz = 0.

Но это, как нам уже известно, условие равновесия жидкости.

Анализ уравнения Бернулли завершен.

27. Примеры прикладного применения уравнения Бернулли

Во всех случаях требуется определить математическую формулу потенциальной функции, которая входит в уравнение Бернулли: но эта функция имеет разные формулы в разных ситуациях. Ее вид зависит от того, какие массовые силы действуют на рассматриваемую жидкость. Поэтому рассмотрим две ситуации.

Одна массовая сила

В этом случае подразумевается сила тяжести, которая выступает в качестве единственной массовой силы. Очевидно, что в этом случае ось Z и плотность распределения Fz силы Ппротивонаправлены, следовательно,

Fx = Fy = 0; Fz = —g.

Поскольку – dП = Fxdx + Fydy + Fzdz, то – dП = Fzdz,окончательно dП = —gdz.

Интегрируем полученное выражение:

П = —gz + C, (1)

где С – некоторая постоянная.

Подставив (1) в уравнение Бернулли, имеем выражение для случая воздействия на жидкость только одной массовой силы:

Если разделить уравнение (2) на g (поскольку оно постоянное), то

Мы получили одну из самых часто применяемых в решении гидравлических задач формул, поэтому следует ее запомнить особенно хорошо.

Если требуется определить расположение частицы в двух разных положениях, то выполняется соотношение для координат Z1 и Z2, характеризующие эти положения

Можно переписать (4) в другой форме

28. Случаи, когда массовых сил несколько

В этом случае усложним задачу. Пусть на частицы жидкости действуют следующие силы: сила тяжести; центробежная сила инерции (переносит движение от центра); кориолисовая сила инерции, которая заставляет частицы вращаться вокруг оси Z с одновременным поступательным движением.

В этом случае мы получили возможность представить себе винтовое движение. Вращение происходит с угловой скоростью w. Нужно представить себе криволинейный участок некоторого потока жидкости, на этом участке поток как бы вращается вокруг некоторой оси с угловой скоростью.

Частным случаем такого потока можно считать гидравлическую струю. Вот и рассмотрим элементарную струйку жидкости и применим в отношении к ней уравнение Бернулли. Для этого поместим элементарную гидравлическую струю в координатную систему XYZ таким образом, чтобы плоскость YOX вращалась вокруг оси OZ.

Будем считать, что U – местная скорость жидкости во вращающейся плоскости YOX. Пусть

Fx1= Fy1= 0; Fz1=—g —

составляющие силы тяжести (то есть ее проекции на оси координат), отнесенные к единичной массе жидкости. К этой же массе приложена вторая сила – сила инерции ω2r, где r – расстояние от частицы до оси вращения ее компоненты.

Fx2= ω2x; Fy2= ω2y; Fz2= 0

из-за того, что ось OZ «не вращается».

Окончательно уравнение Бернулли. Для рассматриваемого случая:

Или, что одно и то же, после деления на g

Если рассмотреть два сечения элементарной струйки, то, применив вышеуказанный механизм, легко убедиться, что

где z1, h1, U1, V1, z2, h2, U2, V2 – параметры соответствующих сечений

29. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Пусть теперь имеем установившееся движение жидкости, которая невязкая, несжимаемая.

И пусть она находится под воздействием сил тяжести и давления, тогда уравнение Бернулли имеет вид:

Теперь требуется идентифицировать каждое из слагаемых. Потенциальная энергия положения Z – это высота элементарной струйки над горизонтальной плоскостью сравнения. Жидкость с массой М на высоте Z от плоскости сравнения имеет некоторую потенциальную энергию MgZ. Тогда

Это та же потенциальная энергия, отнесенная к единичной массе. Поэтому Z называют удельной потенциальной энергией положения.

Движущаяся частица с массой Ми скоростью u имеет вес MG и кинематическую энергию U2/2g. Если соотнести кинематическую энергию с единичной массой, то

Полученное выражение есть не что иное, как последнее, третье слагаемое в уравнении Бернулли. Следовательно, U2/ 2 – это удельная кинетическая энергия струйки. Таким образом, общий энергетический смысл уравнения Бернулли таков: уравнение Бернулли представляет собой сумму, содержащую в себе полную удельную энергию сечения жидкости в потоке:

1) если полная энергия соотнесена с единичной массой, то она есть сумма gz + p/ρ + U2/ 2;

2) если полная энергия соотнесена с единичным объемом, то ρgz + p + pU2/ 2;

3) если полная энергия соотнесена единичному весу, то полная энергия есть сумма z + p/ρg + U2/ 2g. Не следует забывать, что удельная энергия определяется относительно плоскости сравнения: эта плоскость выбирается произвольно и горизонтально. Для любой пары точек, произвольно выбранной из потока, в котором установившееся движение и который движется потенциальноовихрево, а жидкость невязко-несжимаемая, суммарная и удельная энергия одинаковы, то есть распределены по потоку равномерно.

30. Геометрический смысл уравнения Бернулли

Основу теоретической части такой интерпретации составляет гидравлическое понятие напор, которое принято обозначать буквой Н, где

Гидродинамический напор Н состоит из следующих разновидностей напоров, которые входят в формулу (198) как слагаемые: