Абрам Фет - Катастрофы в природе и обществе Страница 10

Начнем с однократного выброса загрязнителя, когда после выброса дальнейшее загрязнение не происходит, и к которому, по определению, относятся фазовые портреты рисунков 1, 2. Такое загрязнение не характерно для постоянно действующих предприятий, а скорее описывает катастрофу, вроде хиросимской атомной бомбы или чернобыльского взрыва. Именно в этих печальных случаях были проведены подробные исследования концентрации в различных средах, позволяющие составить фазовые портреты деструкции для некоторых веществ, особенно радиоактивных. Катастрофы доставили материал для научных экспериментов – вопреки нравственному закону, запрещающему ставить эксперименты на людях!

Если концентрация в среде сразу же после выброса равна с0, то, поскольку других выбросов нет, можно найти по фазовой кривой концентрацию через год после выброса, затем через два года, и т.д. Пользуясь приемом отражения в биссектрисе, разработанным в главе 1, легко убедиться, что со временем концентрация загрязнителя стремится к нулю, какова бы ни была масса выброса (читатель выполнит на рисунке 1 или 2 построение ступенчатых фигур, как это уже делалось раньше). Конечно, остается вопрос о времени очищения среды, но его можно также определить по фазовой кривой. Если начальное загрязнение было очень сильным, то есть точка Р находилась далеко справа, то для этого может понадобиться много времени (убедитесь в этом по рисунку 1 или 2).

Сделаем еще следующее важное замечание. В предыдущем изложении мы считали, что процесс деструкции загрязнителя в течение определенного периода времени зависит лишь от наличной концентрации загрязнителя в начале этого периода, но не от предыстории процесса, то есть не от того, каким образом накопилось это начальное загрязнение. Вообще говоря, это может быть и не так, поскольку длительное предшествующее действие загрязнения может изменить свойства среды по отношению к наличной величине концентрации в данный момент, так что в разные моменты времени мы имеем дело с разной средой. Но мы предположим, что среда остается все время одной и той же. Заметим, что, в отличие от дальнейших фазовых портретов, фазовый портрет концентрации от однократного загрязнения зависит лишь от выбранного места, но не от расположения предприятия: он характеризует реакцию среды на загрязнитель в этом месте.

Конечно, однократные выбросы случаются редко, обычно вследствие аварий. "Нормально" работающее предприятие производит либо периодическое, либо непрерывное загрязнение среды в течение длительного времени. Оказывается, что для обоих этих случаев (а в действительности – и для самого общего процесса непрерывного загрязнения) можно получить фазовый портрет концентрации загрязнителя по известному фазовому портрету концентрации от однократного загрязнения. Этот важный результат, как мы увидим, позволяет понять процесс загрязнения среды действующим предприятием. Рассмотрим сначала случай, когда предприятие производит выбросы равной массы в отдельные моменты через равные промежутки времени – предположим, через год (напомним снова условный смысл этого периода!). Пусть, например, выброс производится в 0 часов первого января каждого года. [По сказанному выше, промежуток между выбросами ("год") должен быть в таком случае одного порядка с характерным временем деструкции загрязнителя. Если он значительно больше, то в промежутках между выбросами нового загрязнения не происходит, и дело сводится к фазовому портрету деструкции; если значительно меньше, то можно считать выбросы непрерывными и применять поднятый график рисунка 6 (см. ниже)]

Обозначим фазовую функцию, соответствующую периодическому загрязнению, через g(x). Оказывается, что если известна фазовая функция для однократного загрязнения f(x), то можно найти по ней функцию g(x). В самом деле, измерим концентрацию загрязнения 31 декабря текущего года, непосредственно перед полуночью; пусть она будет равна x. Величину концентрации от выброса в 0 часов 1 января, рассматриваемую сразу же после выброса, до начала деструкции, обозначим через d0; это, наряду с периодом выбросов в один год, основная информация о вредной деятельности предприятия. Таким образом, общая концентрация в среде сразу же после выброса будет x + d0. В течение следующего года, который мы будем считать годом наблюдения, это количество будет разрушаться без дальнейшего прибавления загрязнителя – до момента перед полуночью 31 декабря, когда, по определению фазовой функции однократного загрязнения f(x), оно превратится в f(x + d0). Но, с другой стороны, мы обозначили фазовую функцию многократного периодического загрязнения через g(x); следовательно, под действием многократного загрязнения (проявившегося за год наблюдения лишь в виде одного выброса 1 января) концентрация x перешла в g(x). Итак,

g(x) = f(x + d0).

Полученная функция g(x) связана c f(x) очень простым преобразованием – "сдвигом" графика на величину d0: это значит, что значение функции g в точке x равно значению функции f в точке x + d, cдвинутой вправо на d0 (см. рис.3). Но тогда график функции g получается из графика f сдвигом влево на ту же величину d0.

Рис.3

Итак, доказана следующая теорема:

Фазовая функция периодического загрязнения задается выражением

g(K) = f(K + d0),

где f(K) – фазовая функция деструкции в рассматриваемой среде, а d0 – концентрация от однократного выброса, рассматриваемого предприятия сразу же после выброса.

Зная график f(K) (рис.1), можно получить из него график g(K) сдвигом влево на величину d0, причем значения g(K) для отрицательных K, не имеющие смысла, отбрасываются (в доказательстве теоремы исходная концентрация x в начале наблюдения считалась неотрицательной). Дальше мы рассмотрим, какой вид имеет "сдвинутая" кривая M = g(K).

Для применения предыдущей теоремы надо знать фазовый портрет M = f(K) однократного загрязнения, который можно измерить по одному выбросу, достаточно массивному, чтобы доставить большое значение исходной концентрации и, тем самым, найти вид кривой рисунка 1 при больших K. Как уже было сказано, такие выбросы происходят обычно в случае катастроф, последствия которых изучались. Таким образом, из несчастий, не делающих чести человеческому разуму, можно вывести информацию об экологическом ущербе от "нормально" действующих предприятий. [Заметим, что общий случай выбросов переменной массы можно свести к случаю однократного выброса, используя по существу только что описанный метод, то есть складывая концентрации, оставшиеся после деструкции от всех предшествующих выбросов. Для этого надо выполнить хорошо известное в математической физике сведение непрерывных процессов к "дискретным", то есть происходящим в отдельные моменты]

Подвергнем теперь кривую M = f(K) рисунка 1 преобразованию сдвига, о котором говорится в предыдущей теореме. Как легко убедиться, получается левая кривая рисунка 4 (рассматриваемая лишь при положительных значениях K). Бросается в глаза, что эта фазовая кривая имеет устойчивую точку равновесия 1, на пересечении с биссектрисой: вспомните исследование фазовых кривых в главе 1! Впрочем, мы займемся таким исследованием дальше.

Рис.4

Рассмотрим теперь случай, когда предприятие производит равномерные выбросы все время. В этом случае надо знать, кроме фазового портрета деструкции (рис.1), еще концентрацию сразу же по истечении первого года работы предприятия, которую мы обозначим через d1. Ее можно приближенно отождествить со "среднегодовым выбросом" предприятия, то есть с суммой концентраций, возникающих сразу же после небольших периодов работы предприятия. Такое отождествление неточно, так как к концу года часть более ранних выбросов за этот год успевает разрушиться. Все же мы будем условно называть эту величину d1 "среднегодовым выбросом", имея в виду предыдущее определение.

Пусть теперь в начале года концентрация, оставшаяся от всей предыдущей деятельности предприятия, равна x, Если бы в течение последующего года наблюдения не было дальнейших выбросов, то в конце этого года, по определению фазовой функции однократного загрязнения, мы имели бы концентрацию f(x). Но к этой величине прибавляется концентрация d1 от непрерывной работы предприятия в течение года наблюдения, так что в конце года пролучается концентрация f(x) + d1. Это и есть, по определению, значение фазовой функции непрерывного загрязнения g(x) – концентрация, остающаяся в конце года такого загрязнения, если в начале его она была равна x. Итак, доказано следующее:

Фазовая функция непрерывного загрязнения задается выражением

g(K) = f(K) + d1,

где f(K) – фазовая функция деструкции в рассматриваемой среде,

а d1 – среднегодовой выброс предприятия.

Каждое значение функции g больше соответствующего значения функции f на одно и то же число d1, что соответствует "подъему" графика на величину d1 (рис.5).