Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой Страница 12

Фибоначчи открыл, что процессы роста в природе следуют одному простому алгоритму. Правило сложения двух предыдущих чисел – это шорткат природы к созданию сложных структур, например ракушек, шишек или цветков. Каждый организм использует две последние созданные им вещи в качестве ингредиентов для следующего шага.

Рис. 1.4. Построение спирали при помощи чисел Фибоначчи

Использование паттернов в развитии структур – ключевой шорткат природы. Взять, например, тот способ, которым природа создает вирус. Вирусы обладают чрезвычайно симметричной структурой. Связано это с тем, что алгоритм создания симметричной структуры прост. Если вирус имеет форму симметричного кубика, то ДНК, которая воспроизводит эту молекулу, нужно создать лишь несколько экземпляров одного и того же белка, образующего грани кубика, а затем вся структура вируса может быть построена по тому же правилу. Никакие особые инструкции для разных граней не требуются. Паттерн позволяет строить вирус быстро и рационально, что и делает его таким смертельно опасным.

Но можем ли мы быть уверены, исходя из столь малого количества данных, что секрет подъема по лестнице действительно скрыт в числах Фибоначчи?

На самом деле правило точно объясняет, как вычислить количество вариантов для следующего этапа, лестницы из 6 ступенек. Нужно взять все возможные варианты для четырех ступенек и прибавить в конце по двойному шагу. Или взять все возможные варианты для пяти и прибавить к ним по шагу одинарному. Это дает все возможности для шести ступенек. Получается сочетание двух предыдущих чисел последовательности.

Чтобы получить ответ на исходную головоломку, нужно вычислить десятый член последовательности.

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89

Существует 89 разных вариантов. Этот паттерн – шорткат к вычислению количества возможных способов подъема до вершины лестницы. И этот же паттерн позволяет решить эту задачу, даже если ступенек будет 100 или 1000.

Хотя эти числа названы в честь Фибоначчи, первым их открыл не он. Это были индийские музыканты, игравшие на табла[21]. Они издавна состязались друг с другом, щеголяя разными ритмами, которые им удавалось извлекать из своих барабанов. По мере исследования разных типов ритмов, которые получались из долгих и кратких тактов, они и пришли к числам Фибоначчи.

Если долгий такт в два раза длиннее краткого такта, то количество ритмов, которые может составить из них музыкант, играющий на табла, будет таким же, что и количество вариантов подъема по лестнице. Каждый одинарный шаг соответствует краткому такту, а каждый двойной шаг – долгому. Значит, число возможных ритмов определяется правилом Фибоначчи. Более того, это же правило дает музыканту алгоритм построения новых ритмов из уже существующих более коротких.

В том обстоятельстве, что один и тот же паттерн объясняет столь разнородные явления, есть нечто потрясающее. Фибоначчи полагал, что это закон роста в природе. С точки зрения индийских музыкантов, игравших на табла, этот паттерн порождает ритмы. Он же позволяет получить число вариантов подъема по лестнице одинарными и двойными шагами. Есть даже некоторые финансовые аналитики, считающие, что эти числа можно использовать для предсказания момента, в который падающий курс акций достигнет нижней точки и снова начнет расти. Этот финансовый паттерн не вполне бесспорен и уж точно не универсален, но некоторым инвесторам удается применять его для принятия правильных решений. Столь действенным делает шорткат способность выявить фундаментальную структуру, скрытую за самыми разными фасадами. Один и тот же паттерн может дать решения множеству кажущихся совершенно разными задач. Когда приступаешь к решению новой задачи, часто бывает полезно проверить, не сводится ли она к старой задаче, решение которой вы уже нашли.

Связи между шорткатами

Я не могу противостоять искушению прибавить к этой истории небольшой эпилог, в котором пожинаются плоды проделанной ранее тяжелой работы. Моя исходная стратегия вычисления количества способов подъема на вершину лестницы привела меня к вопросу о способах выбора 3 предметов из 7. На самом деле математики уже нашли хитроумный метод, укорачивающий путь к вычислению этих вариантов. Он называется треугольником Паскаля (хотя, как и в случае Фибоначчи, оказывается, что первым его открыл вовсе не Паскаль: это заслуга древних китайцев).

Рис. 1.5. Треугольник Паскаля

Треугольник этот строится по правилу, похожему на правило Фибоначчи, но в этом случае каждый элемент нижележащего ряда вычисляется как сумма двух элементов, расположенных над ним. Используя это правило, построить треугольник легко, но замечательнее всего то, что он содержит все те интересные числа, которые я искал. Предположим, я заведую пиццерией и хочу похвастаться количеством разных пицц, которые у меня можно заказать. Если мне нужно узнать число вариантов выбора 3 начинок из 7 возможных, я беру (3 + 1) – е число в (7 + 1) – м ряду треугольника: 35. Этот шорткат показывает мне, что я могу приготовить 35 разных пицц. В общем случае выбора m предметов из n нужно найти (m + 1) – е число в (n + 1) – м ряду[22]. Но, поскольку именно эти числа давали одно из решений нашей задачи с лестницей, значит, в треугольнике Паскаля есть и числа Фибоначчи. Они получаются при сложении чисел по диагоналям треугольника.

Рис. 1.6. Числа Фибоначчи, треугольные числа и степени двух в треугольнике Паскаля

Связи такого рода – одна из тех вещей, которые я особенно люблю в математике. Кто бы мог подумать, что в треугольнике Паскаля прячутся числа Фибоначчи? Однако, рассмотрев нашу головоломку двумя разными способами, я нашел тайный туннель, шорткат, соединяющий эти, казалось бы, совершенно разные уголки математического мира! А кроме того, оказывается, что в треугольнике спрятаны еще и треугольные числа и степени двойки. Треугольные числа находятся на одной из диагоналей треугольника, а степени двух получаются суммированием всех чисел каждого ряда. В математике полно таких странных туннелей, открывающих перед нами шорткаты, которые мы