Саймон Сингх - Симпсоны и их математические секреты Страница 21

Второе число на экране стадиона, 8128, известно как совершенное число. Совершенство в контексте числа зависит от его делителей, а именно тех чисел, на которые оно делится без остатка. Например, делители числа 10 – 1, 2, 5 и 10. Число считается совершенным, если оно равно сумме своих делителей, отличных от самого числа. Самое маленькое совершенное число – 6, поскольку 1, 2 и 3 – это его делители, а 1 + 2 + 3 = 6. Второе совершенное число – 28, потому что его делители – 1, 2, 4, 7 и 14, а 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Третье совершенное число – 496, а четвертое – 8128: именно то число, которое появляется в эпизоде «Мардж и Гомер спасают чужой брак».

Об этих четырех совершенных числах знали еще древние греки, однако математикам пришлось больше тысячелетия ждать открытия трех следующих совершенных чисел: 33 550 336 было обнаружено примерно в 1460 году, а затем, в 1588-м, было объявлено об открытии чисел 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Как сказал французский математик XVII столетия Рене Декарт, «совершенные числа, как и совершенные люди, встречаются крайне редко».

Исходя из того, что совершенных чисел очень мало, легко сделать поспешный вывод о существовании их конечного количества. Но тем не менее математики до сих пор не смогли это доказать. Кроме того, все известные совершенные числа четные, поэтому велика вероятность, что и те совершенные числа, которые будут когда-то найдены, также окажутся четными. Но и это пока никто не доказал.

Несмотря на эти пробелы в знаниях, нам все же кое-что известно о совершенных числах. Например то, что четные совершенные числа (а ими могут оказаться все числа такого рода) – это также треугольные числа:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

Кроме того, мы знаем, что четные совершенные числа (за исключением числа 6) всегда представляют собой сумму нескольких следующих подряд нечетных чисел, возведенных в третью степень:

28 = 1³ + 3³

496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³

8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³

И последнее, но не менее важное замечание: нам известно о существовании тесной связи между совершенными числами и простыми числами Мерсенна. В действительности математики доказали, что каждая из этих групп содержит одно и то же количество чисел, и показали, что каждое число Мерсенна можно использовать для генерирования совершенного числа. Следовательно, всего мы знаем сорок восемь совершенных чисел, потому что знаем только сорок восемь чисел Мерсенна.

Третье число на экране стадиона – 8208 – тоже особенное, поскольку оно относится к категории так называемых самовлюбленных чисел[34]. Оно равно сумме своих цифр, возведенных в степень, равную количеству этих цифр:

8208 = 84 + 24 + 04 + 84 = 4096 + 16 + 0 + 4096

Причина, почему это число называют самовлюбленным, заключается в том, что его же собственные цифры используются для генерации самого числа. Создается впечатление, что такое число одержимо собой, почти влюблено в само себя.

Есть масса других примеров самовлюбленных чисел, например 153, которое равно 1³ + 5³ + 3³, однако доказано, что существует их конечное количество. В действительности есть всего восемьдесят восемь самовлюбленных чисел, среди которых самое большое – 115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401.

Тем не менее, если мы ослабим ограничения, то появится возможность сгенерировать так называемые сумасбродные самовлюбленные числа. Они могут быть образованы с помощью собственных цифр любым возможным способом. Вот несколько примеров сумасбродных самовлюбленных чисел:

6859 = (6 + 8 + 5)√9

24739 = 24 + 7! + 39

23328 = 2 × 33! × 2 × 8

Итак, благодаря визиту Гринволд и Нестлера в эпизоде «Мардж и Гомер спасают чужой брак» появились простое число Мерсенна, совершенное число и самовлюбленное число. На протяжении многих лет мультсериал «Симпсоны» оказывал влияние на методику преподавания, теперь же ситуация изменилась на прямо противоположную: профессора оказали влияние на «Симпсонов».

Но почему авторы мультсериала выбрали именно эти числа для демонстрации на экране Jumbo-Vision? Ведь существуют сотни видов интересных чисел, и любые могли бы сыграть свою роль в эпизоде. Например, так называемые числа-вампиры, цифры которых можно разделить таким образом, чтобы образовались два новых числа (известных как «клыки»), произведение которых равно исходному числу. Например, 136 948 – это число-вампир, поскольку 136 948 = 146 × 938. Еще более интересный пример – число 16 758 243 290 880, потому что его клыки можно сформировать четырьмя разными способами:

1675824290880 = 1982736 × 8452080

1675824290880 = 2123856 × 7890480

1675824290880 = 2751840 × 6089832

1675824290880 = 2817360 × 5948208

Если бы сценаристы захотели использовать в высшей степени особенное число, они могли бы выбрать безукоризненное число. Таких чисел всего два, поскольку они должны удовлетворять двум строгим требованиям, имеющим отношение к совершенству. Во-первых, общее количество делителей этого числа должно быть совершенным числом; во-вторых, сумма этих делителей тоже должна быть совершенным числом. Первое безукоризненное число – 12, так как его делители – 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Количество делителей равно 6, а их сумма – 28, причем 6 и 28 – совершенные числа. Второе безукоризненное число – 6 086 555 670 238 378 989 670 371 734 243 169 622 657 830 773 351 885 970 528 324 860 512 791 691 264.

По словам сценаристов, они выбрали число Мерсенна, совершенное число и самовлюбленное число для эпизода «Мардж и Гомер спасают чужой брак» только потому, что все они примерно равны реальному количеству зрителей на бейсбольном стадионе. Кроме того, именно эти числа первыми пришли им в голову. Поправки в сценарий вносились в последнюю минуту, поэтому авторам некогда было долго думать над выбором чисел.

Но теперь, по прошествии времени, я готов поспорить, что сценаристы выбрали самые подходящие числа, поскольку они еще видны на экране в момент появления Табиты Викс, причем каждое из них как будто представляет собой ее точное описание. Будучи одним из наиболее эффектных персонажей «Симпсонов», Табита считает себя совершенной женщиной в расцвете лет[35], поэтому неудивительно, что она – самовлюбленный человек. В действительности в самом начале эпизода Табита, одетая в откровенное платье, вызывающе танцует перед восхищенными бейсбольными фанатами мужа, так что появление сумасбродного самовлюбленного числа на экране стадиона более чем уместно.

Хотя Гринволд и Нестлер могут показаться исключительными преподавателями, они не единственные, кто обсуждает «Симпсонов» на своих лекциях. Джоэл Сокол из Технологического института Джорджии в курсе лекций под названием «Принятие решений в противостоянии с соперником: практическое применение математической оптимизации» использует слайды с описанием игры «камень, ножницы, бумага», в которую играют герои «Симпсонов». Этот курс лекций посвящен теории игр – области математики, которая занимается моделированием поведения участников в конфликтных ситуациях и партнерских отношениях. Теория игр может помочь нам понять очень многое, от домино до военных действий, от животного альтруизма до переговоров профсоюзов. Точно так же Дирк Матри, экономист Университета штата Пенсильвания, активно интересующийся математикой, использует сцены из «Симпсонов» с игрой «камень, ножницы, бумага», когда рассказывает студентам о теории игр.

На первый взгляд кажется, что «камень, ножницы, бумага» (сокращенно КНБ) – достаточно простая игра, поэтому вас удивит тот факт, что она может представлять какой-либо интерес с точки зрения математики. Тем не менее в руках специалиста по теории игр КНБ становится сложной битвой между двумя соперниками, пытающимися перехитрить друг друга. На самом деле в КНБ много скрытых математических тонкостей.

Но прежде чем их раскрыть, позвольте кратко описать правила игры. В КНБ участвуют два игрока, которые играют по очень простым правилам. Сначала они вместе считают «Раз, два, три…» и на счете «три» показывают рукой один из трех знаков: камень (сжатый кулак), бумага (открытая, плоская ладонь) или ножницы (указательный и средний пальцы образуют букву V). Победитель определяется по принципу «круговой иерархии»: камень затупляет ножницы (побеждает камень); ножницы режут бумагу (побеждают ножницы); бумага заворачивает камень (побеждает бумага). Если оба игрока выбрали один и тот же знак, значит, в этом раунде будет ничья.

За многие столетия в разных культурах сформировались свои варианты этой игры, от индонезийского «слон, человек, уховертка» до «НЛО, микроб, корова», созданного любителями научной фантастики. В последней версии НЛО расчленяет корову, корова поедает микробы, а микробы заражают НЛО.