Тибо Дамур - Мир по Эйнштейну. От теории относительности до теории струн Страница 22

Деформированное пространство-время, таким образом, определяется заданием для каждой точки такого рода деформированных песочных часов. На рис. 8 можно увидеть графическое представление этой идеи, а также сравнить ее с недеформированным случаем пространства-времени специальной теории относительности (см. рис. 3). Затем Эйнштейн понял, что такое деформированное пространство не может быть покрыто обычной квадратной сеткой, подобной той, что мы видим в школьных тетрадях, т. е. с помощью четырех обычных координат (длины, ширины, высоты и времени), использованных им в специальной теории относительности. Как и в случае поверхности Земли, нужно было использовать более общие координаты (аналогичные долготе и широте для деформированной сферы, см. рис. 7). Поскольку пространство-время является четырехмерным, необходимо иметь четыре координаты, чтобы точно определить какое-либо событие. Можно обозначить эти координаты различными способами, из которых наиболее распространенные: (x, y, z, t), (x1, x2, x3, x4) или (x0, x1, x2, x3).

Эйнштейн обнаружил (хотя и после долгих лет блужданий, колебаний и сомнений), что в выборе этих четырех координат имеется полная математическая свобода или, другими словами, что никакой конкретный способ фиксации точек пространства-времени не является заведомо предпочтительным. Исходя из этого он пришел к следующему выводу: законы физики должны иметь одинаковый вид в любой системе координат. Эйнштейн назвал этот постулат принципом общей относительности, так как изначально думал, что он является обобщением принципа относительности 1905 г., который ограничивался рассмотрением систем координат, используемых наблюдателями при равномерном относительном движении{70}. Введение этого постулата позволило очень сильно ограничить допустимую форму законов «релятивистской гравитации» и, таким образом, приблизило Эйнштейна к его самому замечательному открытию, которое Дж. Томсон, Дирак и многие другие физики считали «величайшим достижением в истории человеческой мысли», а именно к созданию общей теории относительности или теории гравитации Эйнштейна.

Итак, первый этап создания общей теории относительности привел к утверждению, что хроногеометрия деформированного пространства-времени задается структурой, представленной на рис. 8: набор событий, удаленных от заданного на бесконечно малый (положительный) квадрат интервала ε², суть деформированные песочные часы (или на математическом языке – обобщенный гиперболоид). Для явного описания этой структуры необходимо в каждой точке пространства-времени определить математический объект, обозначаемый g и называемый хроногеометрическим или метрическим тензором. Этот тензор представляет собой набор из 10 коэффициентов, которые определяют форму теоремы Пифагора – Эйнштейна в произвольной системе координат{71}. Отметим, что по счастливому стечению обстоятельств символ g может одинаково подразумевать как геометрию пространства-времени, так и гравитацию.

Закон упругости пространства-времени Эйнштейна

Чтобы более наглядно понять смысл теории гравитации Эйнштейна, вспомним теорию упругости, созданную британским ученым Робертом Гуком. Гук был одним из самых плодотворных научных деятелей XVII в. Он внес существенный вклад во впечатляющее количество научных областей и, кроме того, в течение долгого времени был секретарем Лондонского королевского общества. Его работы предвосхитили некоторые открытия Ньютона (касательно общих законов динамики и поведения 1 / r² закона тяготения). К сожалению для него, Ньютон, который был гением, но отличался весьма подозрительным и вспыльчивым нравом, игнорировал его достижения и делал все, чтобы принизить важность его работ. Наверное, Ньютон был бы в ярости, увидев такую интерпретацию теории гравитации Эйнштейна (вытеснившую его собственную), которую мы собираемся сделать, используя обобщение закона упругости Гука!

Отправная точка теории Гука довольно проста для понимания. Рассмотрим произвольную упругую структуру, т. е. такую, которая возвращается к своей первоначальной форме после деформирования воздействующей на нее силой. Простой пример упругой структуры – пружина. Рассмотрим пружину, верхний конец которой прикреплен к жесткому массивному телу, а нижний – свободен. Если потянуть вниз за нижний конец пружины или прикрепить к нему груз, то пружина деформируется и растянется. Если прикрепить не слишком тяжелый груз, то можно заметить, что растяжение пружины прямо пропорционально его весу: в два раза больший вес будет давать в два раза большее растяжение. Другими словами, деформация упругой структуры пропорциональна напряжению, действующему на эту структуру. Если обозначить «деформацию» буквой D, а «напряжение» буквой T, то закон упругости Гука сводится к простому утверждению D = κT, где κ – коэффициент пропорциональности, характеризующий «упругость» рассматриваемой структуры. Чем больше κ, тем более упругой является структура, т. е. тем больше она деформируется под действием заданного напряжения. Можно также сказать, что обратная коэффициенту κ величина 1 / κ измеряет жесткость рассматриваемой структуры. Чем меньше κ, тем больше жесткость (и тем меньше упругость). Этот универсальный закон упругости справедлив только в ограниченном диапазоне прикладываемого напряжения (не сильно отличным от нуля). Обратите внимание, что напряжения и соответствующие деформации могут прикладываться как в одном, так и в другом направлении, т. е. могут быть положительными или отрицательными. Независимо от знака приложенного напряжения, деформация будет возвращаться к нулю, если напряжение постепенно уменьшается до нуля. Это и есть основное свойство упругой структуры – стремление возвращаться в исходное «недеформированное» состояние, когда деформирующая сила перестает действовать.

В то же время если перейти определенный порог (так называемый «предел упругости»), другими словами, если приложить слишком большое напряжение, то в общем случае мы покинем область упругости для данной структуры. И тогда мы переходим в область «пластичности», где структура приобретает постоянную деформацию, остающуюся после того, как напряжение перестает действовать, и затем в область «разрыва», где структура рвется.

Чтобы немного развить интуицию, а также приблизиться к нашей модели «пространственно-временного желе», рассмотрим в качестве упругой структуры трехмерную среду, имеющую место в случае заливной телятины. То, что мы собираемся сказать, в равной степени относится и к более жесткой среде, такой как металл, однако жесткость металла настолько велика, что интуитивно сложно представить его в качестве упругой структуры. Поэтому мы рассматриваем кусок (однородного) желе. Деформируем этот блок, прикладывая давление, или напряжение, к его краям. Это создает напряженное состояние внутри куска. Такое напряженное состояние описывается (в механике сплошных сред) математическим объектом, называемым тензором напряжений. Этот тензор, который мы обозначим через T (от английского слова tension){72}, позволяет вычислять силы внешнего воздействия, действующие на поверхность выделенного элемента объема внутри среды. В газообразной среде T определяется давлением газа.

Нам остается описать, как определяется деформация блока желе D. Когда деформация D мала, она определяется как разница между геометрической структурой деформированного и исходного недеформированного блока. Каким же образом можно измерить геометрическую структуру сплошной среды? Точно так же, как мы поступали выше, анализируя геометрическую структуру пространства при помощи визуализации. Опишем сначала визуализацию геометрии недеформированного блока желе (рассматриваемого в обычном евклидовом пространстве), представляя вокруг каждой точки блока геометрическое место точек, расположенных от данной на единичном расстоянии. Это дает регулярную сеть сфер внутри блока. Теперь мы деформируем блок, т. е. заставляем желе двигаться произвольным, но непрерывным образом (так же как деформируется содержимое тюбика зубной пасты, когда его сжимают). Это непрерывное перемещение деформации желе будет деформировать сеть сфер. Сначала центр каждой сферы смещается. Однако такой эффект сам по себе не связан с напряжением в среде, так как можно было бы, например, переместить весь блок желе вправо на один сантиметр, двигая его целиком и не создавая никакой нагрузки внутри блока. С точки зрения упругости важно, таким образом, измерить, как деформируется каждая сфера, когда она следует за движением желатина вокруг себя. Если рассматривать, как мы делаем здесь, небольшие смещения, то можно обнаружить, что сфера деформируется в «эллипсоид», т. е. в своего рода мяч для регби. Поэтому мы будем называть деформацией D математический объект, который измеряет разницу между эллипсоидом и сферой. Видно, что этот объект имеет ту же математическую природу, что и объект, описывающий наличие напряжений в среде, и, таким образом, является тензором, который называют тензором деформации{73}. Наконец, закон упругости для однородной и изотропной сплошной среды, такой как блок желе, можно получить, если записать наиболее общее линейное соотношение, которое может существовать между двумя математическими объектами одного и того же типа (тензором деформации D и тензором напряжений T){74}: D = κT.