Саймон Сингх - Симпсоны и их математические секреты Страница 26

Мозг Гомера получает еще один временный стимул в эпизоде «$прингфилд (или как я перестал бояться и полюбил легальные азартные игры)» ($pringfield (Or, How I Learned to Stop Worrying and Love Legalized Gambling), сезон 5, эпизод 10; 1993 год). В самом начале эпизода Генри Киссинджер (в какой-то мере необъяснимо) совершает прогулку по территории места работы Гомера, Спрингфилдской атомной электростанции. К сожалению, бывший госсекретарь США роняет свои фирменные очки в унитаз, когда заходит в один из туалетов электростанции. Будучи слишком робким, чтобы вытащить их оттуда, и слишком смущенным, чтобы попросить кого-то о помощи, Киссинджер бормочет себе под нос: «Никто не должен знать, что я упустил их в унитаз. Только не я, человек, написавший проект Парижского мирного соглашения».

Вскоре в ту же туалетную кабинку заходит Гомер и обнаруживает в унитазе очки. Разумеется, он не может не вытащить их оттуда, после чего очки как будто наделяют его силой разума Киссинджера. Все еще находясь в туалете, Гомер начинает как заведенный повторять математическую формулу:

Сумма квадратных корней[38] любых двух сторон равнобедренного треугольника равна квадратному корню оставшейся стороны.

На первый взгляд может показаться, что это простое проговаривание теоремы Пифагора, но в действительности это не так по нескольким причинам. Настоящая теорема Пифагора гласит:

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов смежных сторон.

Самое очевидное различие состоит в том, что утверждение Гомера касается равнобедренного треугольника, тогда как теорема Пифагора описывает прямоугольный треугольник. Возможно, вы еще со школы помните, что равнобедренный треугольник имеет две стороны одинаковой длины, тогда как прямоугольный треугольник может иметь стороны любой длины, если один его угол прямой.

В утверждении Гомера есть еще две проблемы. Во-первых, он говорит о «квадратных корнях» сторон треугольника, тогда как в теореме Пифагора идет речь о квадратах сторон. Во-вторых, теорема Пифагора устанавливает зависимость между гипотенузой (самой длинной стороной прямоугольного треугольника) и двумя катетами, тогда как Гомер ставит «любые две стороны» равнобедренного треугольника в зависимость от «оставшейся стороны». В качестве «любых двух сторон» могут выступать либо две равные стороны, либо одна из равных сторон и неравная сторона.

Представленные ниже рисунки и уравнения подытоживают и подчеркивают различия между утверждением Гомера и теоремой Пифагора. Гомер взял стандартный фрагмент математической информации и изменил его, тем самым создав новый вариант теоремы Пифагора, а именно гипотезу Симпсона. Различие между теоремой и гипотезой состоит в том, что истинность первой доказана, тогда как вторая и не доказана, и не опровергнута… пока.

Гипотеза Симпсона касается всех равнобедренных треугольников, а значит, если мы попытаемся ее доказать, то должны продемонстрировать, что она верна для бесконечного множества треугольников. А для того чтобы опровергнуть гипотезу Симпсона, нам будет достаточно найти всего один треугольник, противоречащий ей. Поскольку опровержение кажется более легким, чем доказательство, давайте посмотрим, сможем ли мы найти такой треугольник.

Возьмем равнобедренный треугольник с двумя сторонами длиной 9 и основанием с длиной 4. Равна ли сумма квадратных корней любых двух сторон этого треугольника квадратному корню оставшейся стороны?

√9 + √9 = √4 подразумевает, что 3 + 3 = 2, что неверно

√9 + √4 = √9 подразумевает, что 3 + 2 = 3, что тоже неверно

В обоих случаях квадратные корни не дают в сумме нужное число, стало быть, гипотеза ошибочна.

Очевидно, что это не звездный час Гомера, но все же не судите его слишком строго, особенно учитывая, что он был под влиянием очков Киссинджера. В действительности если кто-то и виноват, так это сценаристы.

Джош Вайнштейн, который был ведущим сценаристом этого эпизода вместе с Биллом Окли, рассказывал, как создавалась эта сцена и почему она содержала столь бессмысленную гипотезу: «Эта шутка развивалась в обратном порядке, поскольку нам было нужно, чтобы босс Гомера мистер Бернс считал его умным человеком. Мы подумали: “Как же он может прийти к мысли, что Гомер умен? Было бы смешно, если бы он нашел очки в унитазе. А кому должны принадлежать эти очки? Генри Киссинджеру!” Нам нравится Генри Киссинджер (и все, что касается эпохи Никсона), и мы решили, что именно он подходит на роль человека, который бы подружился с мистером Бернсом».

Далее в сценарий необходимо было включить фразу, которая продемонстрировала бы обретенную Гомером уверенность в собственном интеллекте. Когда команда авторов приступила к работе, один из них вспомнил, что у произошедшего с Гомером случая много общего с одной из финальных сцен художественного фильма 1939 года «Волшебник страны Оз»[39]. Когда Дороти идет по желтой кирпичной дороге к волшебнику страны Оз, ее сопровождает Трусливый лев, мечтающий стать храбрым, Железный дровосек, рассчитывающий получить сердце, и Страшила, который надеется обрести разум. Принято считать, что Страшила олицетворяет собой типичный образ канзасского фермера: простого, но достойного человека, который, вероятно, мог бы быть очень умным, но у него нет формального образования. Когда в конце концов они находят волшебника, тот не может дать Страшиле мозг, но выдает ему диплом, и именно в этот момент Страшила произносит: «Сумма квадратных корней любых двух сторон равнобедренного треугольника равна квадратному корню оставшейся стороны».

Следовательно, Гомер цитирует фразу, впервые произнесенную Страшилой из «Волшебника страны Оз». То есть гипотеза Симпсона это на самом деле гипотеза Страшилы. Сценаристы «Симпсонов» использовали ту же математическую псевдогипотезу, так как оба факта (то, что Гомер нашел очки Киссинджера, и то, что Страшила получил диплом) оказали одинаковое влияние на героев, поскольку впоследствии и Гомер, и Страшила обрели уверенность в своих умственных способностях.

Только крохотная доля зрителей заметила, что Гомер повторяет гипотезу Страшилы. Их лучше всего описать как людей, занимающих в диаграмме Венна область пересечения между множеством страстных поклонников фильма «Волшебник страны Оз» и множеством математиков. В эту область входят Джеймс Йик, Анахита Рафи и Чарльз Бисли – студенты факультета математики и компьютерных наук Государственного университета Огасты, досконально изучившие оригинальную сцену из фильма «Волшебник страны Оз». В частности, они поставили под сомнение теорию о том, что Страшила должен был озвучить теорему Пифагора, но актер Рэй Болджер, игравший эту роль, случайно допустил ошибку, на которую никто не обратил внимания, пока не стало слишком поздно. Студенты утверждают, что сценаристы «Волшебника страны Оз» специально исказили теорему Пифагора: «Мы считаем, что это была умышленная диверсия, о чем говорит скорость, с которой актер произносит эту фразу, а также наличие трех очевидных ошибок в формулировке теоремы… Значит ли это, что сценаристы пытались тем самым высказать свое мнение по поводу реальной ценности дипломов? Пытались ли они подчеркнуть отсутствие истинных знаний у зрительской аудитории в целом, давая своей маленькой внутренней шуткой понять, что все мы своего рода “страшилы”?»

Каким бы ни было происхождение гипотезы Страшилы и стоящие за этим мотивы, она безусловно ложная, но при этом все же вдохновила троих математиков из Огасты на изучение противоположной гипотезы, которая гласит:

Сумма квадратных корней любых двух сторон равнобедренного треугольника никогда не равна квадратному корню оставшейся стороны.

Так верна ли гипотеза Йика, Рафи и Бисли? Мы можем это установить, проверив два уравнения. Начнем с уравнения (1), записав его в другом виде:

√a + √a ≠ √b

2√a ≠ √b

4a ≠ b

Последнее уравнение гласит, что длина a никогда не может составлять четверть длины b. В действительности так и должно быть, поскольку a должно быть больше ½b, иначе три стороны треугольника не соприкоснутся друг с другом. Беглый взгляд на представленный выше треугольник позволяет понять очевидность этого вывода.

Продемонстрировав истинность уравнения (1), проверим уравнение (2):

√a + √b ≠ √a

√b ≠ 0

b ≠ 0

Другими словами, согласно уравнению (2) основание равнобедренного треугольника не может иметь нулевую длину. Это действительно так, поскольку в противном случае у нас был бы треугольник всего с двумя сторонами, и они наложились бы друг на друга, а значит, мы получили бы треугольник только с одной стороной!