Рэймонд Смаллиан - Как же называется эта книга? Страница 29

Предположим теперь, что «бал» означает «нет». Тогда наше обычное «нет» — правдивый ответ на вопрос, означает ли «бал» по-нашему «да». Следовательно, «бал» — правдивый ответ на языке туземцев на заданный мною вопрос. Значит, и в этом случае мой собеседник должен быть человеком. Итак, независимо от того, означает ли «бал» по-нашему «да» или «нет», мой собеседник — человек.

159. Достаточно спросить у туземца, человек ли он. Поскольку все коренные жители острова считают для себя за честь называться людьми, то повстречавшийся вам туземец, будь он человеком или зомби, на ваш вопрос ответит утвердительно. Если он ответит «бал», то «бал» означает «да». Если же он ответит «да», то «да» означает «да» (а «бал» — «нет»).

160. Достаточно задать первому встречному такой же вопрос, как в задаче 158, то есть спросить: «Означает ли „бал“ по-нашему „да“?» Если «бал» действительно означает «да», то правильный ответ на ваш вопрос должен гласить «бал». Поэтому человек ответит «бал», а зомби ответит «да». Если же «бал» не означает «да», то и в этом случае правильный ответ на ваш вопрос должен гласить «бал». Следовательно, и в этом случае человек ответит вам: «бал», а зомби скажет «да».

161. Заставить колдуна ответить «бал» можно несколькими способами. Например, вы можете спросить у колдуна, верно ли, что «бал» — правдивый ответ на вопрос, является ли колдун человеком. Можно доказать, что колдуну не останется ничего другого, как ответить «бал». Чтобы несколько упростить последующие рассуждения, обозначим через H вопрос «Вы человек?». Позволю себе напомнить, что вы не спрашиваете у колдуна, правилен или неправилен вопрос H. Вас интересует нечто другое: правилен ли ответ «бал» на вопрос H.

Случай 1: колдун — человек. Если «бал» означает «да», то «бал» — правильный ответ на H. Так как колдун — человек, то на ваш вопрос он даст правдивый ответ, то есть скажет «бал». Если же «бал» означает «нет», то «бал» — неправильный ответ на H. Следовательно, колдун, правдиво отвечая на ваш вопрос, скажет «бал» (что в данном случае будет означать «нет»). Таким образом, на ваш вопрос человек всегда ответит «бал» независимо от того, означает ли «бал» на туземном наречии «да» или «нет».

Случай 2: колдун — зомби. Если «бал» означает «да», то «бал» — неправильный ответ на H. Поскольку колдун — зомби, то он солжет и скажет, что «бал» — правильный ответ на H. Следовательно, на ваш вопрос колдун ответит «бал» (что означает «да, ответ правильный», то есть несомненную ложь). Если же «бал» означает «нет», то «бал» — правильный ответ на H. Следовательно, колдун солжет и скажет, что «бал» — неправильный ответ на H, то есть скажет «бал» (что в данном случае будет означать «нет»). Таким образом, на ваш вопрос зомби ответит «бал» независимо от того, означает ли «бал» на туземном наречии «да» или «нет».

Существуют и другие вопросы, позволяющие решить задачу. Приведем лишь два из них.

а) Верно ли, что либо вы человек и «бал» означает «да», либо вы зомби и «бал» означает «нет»?

б) Верно ли, что вы человек в том и только в том случае, если «бал» означает «да»?

162. Можно, причем не одним, а многими способами. Например, можно спросить у первого встречного: «Если кто-нибудь спросит у вас, есть ли на острове клад, ответите ли вы „бал“?» Как будет показано, если на острове есть клад, то туземец ответит «бал». Если же клада на острове нет, то туземец ответит «да» (оба ответа не зависят как от того, будет ли встретившийся вам островитянин человеком или зомби, так и от того, что именно означают в действительности слова «бал» и «да»).

Обозначим для краткости через G вопрос «Есть ли клад на этом острове?».

Случай 1: туземец — человек, и «бал» означает «да». Предположим, что на острове есть клад. Тогда на вопрос G туземец ответил бы «бал». Будучи человеком, повстречавшийся вам местный житель правдиво сказал бы вам, что он ответил бы «бал». Поэтому на заданный вами вопрос туземец ответит «бал». Предположим теперь, что клада на острове нет. Тогда на вопрос G туземец не ответил бы «бал» и, будучи человеком, сообщил бы вам, что он не ответил бы. Следовательно, на ваш вопрос туземец ответит «да».

Случай 2: туземец — зомби, и «бал» означает «да». Предположим, что на острове есть клад. Тогда «бал» — правдивый ответ на вопрос G, поэтому туземец, будучи зомби, не ответил бы на G словом «бал». В ответ на ваш вопрос он солгал бы, сказав, что ответил бы на G «бал». Таким образом, туземец ответил бы вам «бал». Предположим теперь, что никакого клада на острове нет. Тогда «бал» — неправильный ответ на вопрос G, поэтому зомби на вопрос G ответил бы «бал». Но вам он солгал бы и сказал, что на вопрос G он бы не ответил «бал». Следовательно, в этом случае туземец ответил бы на ваш вопрос «да».

Случай 3: туземец — человек, и «бал» означает «нет». Предположим, что на острове есть клад. Тогда «бал» — неправильный ответ на вопрос G, поэтому человек в ответ на G не сказал бы «бал». Следовательно, в ответ на ваш вопрос туземец правдиво сообщил бы, что на вопрос G он бы не ответил «бал». Следовательно, на ваш вопрос туземец ответил бы «бал».

Если же клада на острове нет, то «бал» — правильный ответ на вопрос G. Поэтому человек ответил бы на вопрос G «бал». Значит, на ваш вопрос человек ответил бы «да» (что означает «да, я ответил бы „бал“ на вопрос G»).

Случай 4: туземец — зомби, и «бал» означает «нет». Предположим, что на острове есть клад. Тогда на вопрос G туземец ответил бы «бал», но вам бы солгал, сказав, что он не ответил бы «бал». Следовательно, на ваш вопрос туземец ответил бы «бал». Предположим теперь, что на острове нет никакого клада. Тогда на вопрос G туземец ответил бы «да» и, следовательно, не ответил бы «бал». Вам же туземец солгал бы, сказав, что он ответил бы на G «бал». Значит, на ваш вопрос туземец ответил бы «да».

Итак, если на острове есть клад, то в каждом из четырех случаев вы услышите в ответ на свой вопрос «бал». Если же никакого клада на острове нет, то на ваш вопрос туземец ответит «да».

Приведенный нами вопрос — не единственный. Ту же задачу можно решить, задав первому встречному туземцу и другой вопрос, например: «Верно ли, что вы человек в том и только в том случае, если „бал“ — правдивый ответ на вопрос, есть ли на острове клад?»

163. Прежде всего я докажу, что свидетель C не может быть зомби. Предположим, что C — зомби. Тогда A и B должны быть братьями. Следовательно, они либо оба зомби, либо оба люди. Предположим, что A и B — люди. Тогда «бал» означает «да», поэтому A на вопрос, не виновен ли подсудимый, дал утвердительный ответ. Следовательно, подсудимый не виновен. Предположим теперь, что A и B — зомби. Тогда «бал» означает «нет», а поскольку A — зомби и на вопрос, не виновен ли подсудимый, отвечает отрицательно, то подсудимый не виновен. Итак, если C — зомби, то подсудимый не виновен (независимо от того, кто такие A и B — зомби или люди). С другой стороны, если C — зомби, то подсудимый должен быть виновен, так как C утверждает, что подсудимый не виновен, и мы приходим к противоречию. Следовательно, C не может быть зомби, и поэтому C — человек. А поскольку C утверждает, что подсудимый не виновен, то тот действительно не виновен.

164. Так как C — человек, то A и B не братья. Разумеется, это не обязательно означает, что A и B разнотипны: они вполне могут быть однотипными, не будучи братьями. Более того, они должны быть однотипными. Действительно, если бы они были разнотипными, то подсудимый непременно оказался бы виновным. В этом читатель без труда может убедиться сам.

165. Единственный из четырех возможных ответов («бал», «да», «да» и «нет»), который не могли бы дать ни человек, ни зомби, — это «нет». Действительно, если бы туземец был либо человеком, либо зомби и ответил бы инспектору Крэгу по-английски, то он должен был бы ответить «да». Если бы он ответил на родном языке, то, если «бал» означает «да», сказал бы «бал» (независимо от того, кто он — человек или зомби), а если «бал» означает «нет», сказал бы «да». (Доказательство этих утверждений я предоставлю читателю.) Следовательно, получив любой ответ, кроме «нет», инспектор Крэг не мог бы определить, кем был спрошенный им туземец. А поскольку инспектор сумел установить, кем был туземец, то полученный им ответ гласил «нет», и туземец был полузомби.

166. И в этой задаче, так же как и в предыдущей, туземец должен быть полузомби, а единственный ответ, по которому Крэг мог установить, кто его собеседник, должен быть «да» (на туземном наречии). Если бы туземец ответил по-английски, то Крэг не мог бы установить, с кем он разговаривает, так как и человек, и зомби на его вопрос ответили бы «да», если «бал» означает «да», и «нет», если «бал» означает «нет». Туземец, ответивший «бал», мог бы оказаться либо человеком, либо зомби, либо полузомби.

XII. Жив ли Дракула?

А. В Трансильвании