Рэймонд Смаллиан - Как же называется эта книга? Страница 33

179. Нет, нельзя. Не исключено, что ваш трансильванец — человек в здравом уме и граф Дракула жив. Возможно также, что ваш собеседник — упырь, лишившийся рассудка, и графа Дракулы нет в живых. (В действительности если вы обратились с вопросом к упырю, утратившему рассудок, то Дракула мог быть как живым, так и мертвым.)

181. Нет, нельзя. Трансильванец, к которому вы обратились с вопросом, мог быть, например, упырем, лишившимся рассудка. В этом случае граф Дракула мог бы быть как живым, так и мертвым.

182. Можно: на этот раз из полученного вами ответа следует, что Дракула жив.

Воспользуемся терминологией задачи 177 и сформулируем утверждение трансильванца следующим образом: «Если я надежен, то Дракула жив».

В гл. 8 (см. решения задач 109–112) мы доказали, что туземец с острова рыцарей и лжецов, высказавший утверждение «если я рыцарь, то то-то и то-то», должен быть рыцарем, а «то-то и то-то» должно быть истинно. Аналогично трансильванец, высказавший утверждение «если я надежен, то то-то и то-то», должен быть надежным, а «то-то и то-то» должно быть истинным. Доказать это можно так же, как это сделано в решении задач 109–112 (достаточно слово «рыцарь» заменить словом «надежный»)

183. Такое утверждение существует: «Я не надежен, и Дракулы нет в живых». Доказательство предоставляем читателю. (Указание: начните с доказательства ненадежности вашего собеседника.)

184. Такое утверждение существует: «Я надежен в том и только в том случае, если Дракула жив».

В решении задачи 122 из гл. 8 мы доказали, что если туземец с острова рыцарей и лжецов высказывает утверждение «я рыцарь в том и только в том случае, если то-то и то-то», то это «то-то и то-то» должно быть истинно (хотя мы ничего не можем сказать относительно того, рыцарь или лжец наш туземец). Аналогично если трансильванец высказывает утверждение «я надежен в том и только в том случае, если то-то и то-то», то это самое «то-то и то-то» должно быть истинно независимо от того, надежен ли трансильванец или ненадежен. Доказательство то же, что и прежде (необходимо лишь слово «рыцарь» заменить словом «надежный»).

Приведенное нами утверждение — не единственное. Решением задачи могут служить и другие утверждения, например «я считаю, что утверждение „Дракула жив“ эквивалентно утверждению, что я человек». Более забавно следующее утверждение: «Я считаю, что если кто-нибудь спросит меня, жив ли Дракула, то я бы ответил утвердительно».

185. Можно. Из утверждений (1) и (2) следовало бы, что Дракулы нет в живых.

Из утверждения (1) можно заключить, что наш трансильванец — человек. Действительно, упырь, находящийся в здравом уме, знал бы, что он в здравом уме, и заявил бы: «Я лишился рассудка». Упырь, лишившийся рассудка, считал бы, что находится в здравом уме, и заявил бы: «Я лишился рассудка». Следовательно, наш трансильванец — человек.

Напомним принцип, установленный в решении задачи 175: если человек заявляет, что считает некоторое утверждение X истинным, то X должно быть истинным (независимо от того, в здравом ли уме этот человек или лишился рассудка). Мы установили, что трансильванец — человек. Он заявил — см. утверждение (2), — что, по его мнению, Дракулы нет в живых. Следовательно, графа Дракулы не должно быть в живых.

186. Из первого утверждения («я человек») не следует, что трансильванец — человек, а следует, что он должен быть в здравом уме. (Человек, утративший рассудок, не знал бы, что он человек. Упырь, лишившийся рассудка, считал бы себя человеком и, солгав, сказал бы, что он упырь.) Итак, мы знаем, что трансильванец в здравом уме. Докажем, что он человек. Предположим, что он упырь. Тогда не верно, что наш трансильванец — человек, а так как из ложного утверждения следует что угодно, то его второе утверждение («если я человек, то граф Дракула жив») должно бы быть истинно.

Но упырь в здравом уме не может высказывать истинных утверждений, и мы приходим к противоречию. Следовательно, наш трансильванец не может быть упырем и должен быть человеком.

Итак, нам известно, что трансильванец находится в здравом уме и что он человек, поэтому высказываемые им утверждения истинны. Следовательно, его второе утверждение («если я человек, то граф Дракула жив») должна быть истинно. Он человек. Значит граф Дракула жив.

187. Достаточно спросить трансильванца, в здравом ли он уме. Человек (независимо от того, в здравом ли он уме или лишился рассудка) ответит утвердительно, а упырь отрицательно.

188. Стоит лишь спросить первого встречного, человек ли он, как все станет ясно. Трансильванец, находящийся в здравом уме (будь то человек или упырь), ответит утвердительно, а трансильванец, лишившийся рассудка, — отрицательно.

В нескольких следующих задачах я приведу лишь ответ (то есть укажу, какой вопрос следует задать трансильванцу). Вы уже накопили достаточно опыта, чтобы самостоятельно убедиться в правильности предлагаемых решений.

189. Один из вопросов, на который все трансильванцы вынуждены будут ответить утвердительно, звучит так: «Считаете ли вы себя человеком?» И дело здесь вовсе не в том, что все трансильванцы действительно считают себя людьми (так считают только люди, находящиеся в здравом уме, и упыри, лишившиеся рассудка), но тем не менее все трансильванцы будут утверждать, что считают себя людьми.

Другой вопрос, на который любой трансильванец ответит утвердительно: «Вы надежны?» Все трансильванцы станут уверять, что они надежны.

190. Чтобы установить, жив ли граф Дракула, достаточно задать трансильванцу любой из следующих вопросов:

1) Эквивалентно ли утверждение о том, что вы надежны, утверждению о том, что Дракула жив?

2) Эквивалентно ли, по-вашему, утверждение о том, что вы человек, утверждению о том, что Дракула жив?

191. Достаточно спросить гостя: «Правильно ли ответить „бал“ на вопрос, в здравом ли вы уме?» Если гость ответит «бал», то он человек. Если же гость ответит «да», то он упырь.

192. Достаточно спросить гостя: «Правильно ли ответить „бал“ на вопрос, человек ли вы?» Если гость ответит «бал», то он в здравом уме. Если же гость ответит «да», то он лишился рассудка.

193. Достаточно спросить гостя: «Считаете ли вы себя человеком?» Слово, которое он произнесет в ответ, должно означать «да». Можно задать и другой вопрос: «Надежны ли вы?»

194. Один из вопросов, дающих решение задачи, звучит так: «Правильно ли ответить „бал“ на вопрос, надежны ли вы?» (Напомним, что быть надежным означает либо быть человеком, находящимся в здравом уме, либо упырем, лишившимся рассудка.)

Другой вопрос, также дающий решение задачи: «Надежны ли вы в том и только в том случае, если „бал“ означает „да“?»

Любой из этих вопросов заставит гостей ответить «бал». Доказать это можно так же, как в решении задачи 161 из гл. 11 (единственное различие состоит в том, что вместо «человек» везде следует взять «надежный человек»).

195. Любой из следующих вопросов позволит выяснить, жив ли граф Дракула.

1) Считаете ли вы, что «бал» — правильный ответ на вопрос, эквивалентно ли утверждение о том, что вы человек, утверждению «Дракула жив»?

2) Правильно ли ответить «бал» на вопрос, эквивалентно ли утверждение о том, что вы надежны, утверждению «Дракула жив»?

Единый принцип, суть которого разъяснена в решении задачи 196, позволяет дать гораздо более простое и изящное решение.

196. Единый принцип. Условимся называть представителя элиты трансильванского общества аристократом типа 1, если на вопрос «дважды два — четыре?» он отвечает «бал». Разумеется, на любой другой вопрос с правильным ответом «да» трансильванский аристократ типа 1 ответит «бал».

Условимся называть представителя трансильванской элиты аристократом типа 2, если он не типа 1. Это означает, что если X — любое истинное высказывание (например, «дважды два — четыре») и вы спрашиваете аристократа типа 2, истинно ли X, то он ответит «да» (не путать с «нашим» привычным «да»!).

Сразу же ясно, что если «бал» означает «да», то аристократы типа 1 надежны, а аристократы типа 2 ненадежны. Если же «бал» означает «нет», то картина обратная (аристократы типа 1 ненадежны, а аристократы типа 2 надежны).

Единый принцип конструирования вопросов заключается в следующем. Чтобы выяснить, истинно ли любое утверждение X, достаточно спросить у любого трансильванского аристократа, эквивалентно ли утверждение о том, что он аристократ типа 1, утверждению X. Вопрос можно задать, например, так: «Истинно ли X в том и только в том случае, если вы аристократ типа 1?» Докажем, что если на такой вопрос последует ответ: «бал», то X должно быть истинно, а если «да», то X должно быть ложно. Следовательно, «волшебное» утверждение S — это просто-напросто утверждение «вы аристократ типа 1» (или «на вопрос „дважды два — четыре?“ вы ответите „бал“»).