Ален Бадью об Алене Бадью - Ален Бадью Страница 15

Третье соображение больше относится к мета-математике: Гедель доказал, что если теория Цермело – Френкеля без аксиомы выбора является когерентной (не содержит внутренних противоречий), то таковой является и теория Цермело – Френкеля с аксиомой выбора. Добавление аксиомы, таким образом, само по себе не создает проблем.

Будучи примером принципа максимальности, гарантией классической логики, не нарушая контекстуальной связности, аксиома выбора является ценнейшим принципом спекулятивной онтологии.

Второй пример. Я принимаю, по одной важной причине философского характера, аксиому основания. Эта аксиома утверждает, что всякое множество включает по меньшей мере один элемент (или несколько), который сам не содержит общих элементов с исходным множеством. Если словесная формулировка вам покажется недостаточно ясной, запишем ее в виде формулы:

Для любого множества x: ∀x Существует по меньшей мере одно множество у: ∃у

Такое, что оно является элементов первого множества: у ∈ x

И такое, что если z является элементом Y: z ∈ у

То z не является элементом исходного множества x: (z ∈ х)

После чего можно записать все это одной формулой, как видите, гораздо более компактной, чем соответствующее высказывание на родном языке:

(∀x) (∃y) [(y ∈ x) & [(z ∈ y) → (z ∈ x)]]

Не только с точки зрения философии, но и с точки зрения условий, накладываемых истинами политики и любви, эта аксиома чрезвычайно важна, потому как она вводит онтологический постулат присутствия Иного во всяком Тождестве. Действительно, всякая форма множественности допускает [существование] внутри себя такого элемента, которому чужды и составность, и бытие множественным. Можно сказать и так, что аксиома основания утверждает имманентность отрицания: во всякой форме множественности есть такая точка бытия, которая не принадлежит той же сфере, которой принадлежит сама эта форма. В рамках моей философии истин из этого вытекает утверждение, что ничто истинное не может быть в строгом смысле тождественным. С онтологической точки зрения поэтому чистая тотальность всегда ложна, а это уже дает нам удивительные следствия в политической сфере. Элемент z полагает радикальную инаковость: вопреки всякому расизму и идентитаризму, любая тождественность-идентичность укрывает внутри себя другого. Вслед за математикой онтология не имеет тут нормативного характера, она только утверждает: что до бытия, бытия нейтрального, не нормативного, помысленного совершенно общо, то в нем всегда есть инаковость. Сказать, что все французы являются французами в чистом смысле, означает совершить онтологическую ошибку. Потому что смешение тут неизбежно, от него никуда не денешься, ну и зачем тогда напирать на тождество? Горизонт – это универсальность. Иными словами, «истину» и «универсальность» невозможно отделить друг от друга.

Из аксиомы основания вытекает, что не может быть рефлексивного высказывания в чистом виде х ∈ у. Это несложно доказать. Имеется в виду, философски говоря, что никакая форма множественности не может быть элементом самой себя. И, в общем-то, понять это нетрудно: с онтологической точки зрения форма борется с неоформленным как с небытием и не может, покуда она ведет эту борьбу, полагать себя как уже бытийствующее через само себя и в самом себе. Абсолютную невозможность высказывания (х ∈ у) можно понимать и с позиций теории Субъекта. Тогда невозможность будет означать: не существует никакой полной рефлексии. Иначе: всякое Когито является неполным. Вспомните Фрейда и бессознательное: мы не принадлежим себе полностью.

Третий пример. Я без ограничений принимаю аксиому бесконечности, которая постулирует существование бесконечного множества (а с учетом остальных аксиом, и существование бесконечно разнообразных типов бесконечности). Эта аксиома говорит, что существует бесконечное число форм множественности, но чтобы такое утверждать, нужно строго определить понятие бесконечности. Подходы к определению могут быть разными. Но все они являются рабочими в том смысле, что они исключают смутные и параинтуитивные подходы, по типу «бесконечное – это нечто чрезвычайно большое». Наиболее известные из этих определений совпадают с определением такой операции на множествах, которая может быть повторена бесконечное количество раз.

Так, предположим, что дано произвольное множество х такое, что оно состоит только из элемента х, – такое множество называют сингельтоном х и символически обозначают как {х}. Заметьте, что х нужно строго отличать от сингельтона {х} по той причине, что если х = {х}, то из этого следует, что множество {х} не подчиняется аксиоме основания. Действительно, в согласии с этой аксиомой должен быть хотя бы один элемент сингельтона, который не содержит ни одного общего элемента с самим сингельтоном. Но единственным элементом сингельтона является х. Следовательно, должен быть такой элемент х, который в то же время не является элементом сингельтона. Если сингельтон равен х, мы имеем абсурдную ситуацию, когда существует такой элемент х, который не является элементом х. Поэтому, покуда мы допускаем аксиому основания, всегда будет справедливо: {х} ≠ х.

Принимая во внимание сказанное, предположим, что существует такое бесконечное множество Inf, что если х ∈ Inf, то и {х} ∈ Inf. Очевидно, что в таком случае мы открываем возможность реитераций вида: х, {х}, {{х}},…,… бесконечный ряд которых «целиком» содержится в Inf. В таком случае мы соглашаемся в том, что Inf – это бесконечная форма множественности.

Абсолютно фундаментальное свойство бесконечных множеств состоит в том, что часть любого такого множества может быть столь же большим, что и само множество. Принятая в греческой математике аксиома «целое больше своей части» не имеет силы для бесконечных форм множественности. На самом деле совсем нетрудно убедиться, как великолепно показал Галилей, что аксиома «целое больше своей части» неприменима к бесконечности, если исходить из самого интуитивного понятного нам примера множества целых положительных чисел, столь хорошо знакомых нам «натуральных» чисел, один, два, три и т. д. Действительно, существует столько же четных чисел, сколько и нечетных. Мы просто каждому нечетному числу сопоставляем число четное. Единице ставится в соответствие двойка, двойке – тройка, и так далее, так что в конце концов бесконечное множество всех чисел 1, 2, 3… n, n + 1… будет точно соответствовать парному множеству 2, 4, 6… 2n, 2(n + 1). И это притом, что множество четных чисел строго является частью множества всех чисел. Ну так вот, выходит, что часть оказывается столь же большой, что и целое.

В остальном, веские причины принять аксиому бесконечности мы, по моему мнению, обнаруживаем, когда начинаем заниматься изучением форм множественности, выходящих за рамки нашей вообще-то ограниченной областью конечного интуиции. И тут тоже должен иметь силу принцип максимальности: в отношении всего, что с формальной точки зрения не содержит противоречия и имеет явное определение, мы можем утверждать, что оно существует, ведь у нас нет никаких оснований полагать, будто наша элементарная интуиция является мерой для бытия как такового.

Между