Пиксель. История одной точки - Элви Рэй Смит Страница 8

Фурье согласился. Не стоило спорить с Бонапартом, ставшим самым могущественным человеком во Франции. Однако новая должность означала изгнание, и Фурье воспринимал это именно так. На протяжении десяти лет после Египетского похода он оставался единственным крупным французским математиком и физиком, работавшим не в Париже.

Зрение

Возможно, вы готовы признать, что все воспринимаемое на слух — это сумма волн, но вряд ли вы думаете, что точно так же дело обстоит и со зрением. Этот следующий шаг потребует немного больше объяснений. Великая идея Фурье заключается в том, что видимый мир, как и музыка, складывается из суммы волн. Но в случае со зрением эти волны пространственные. Они двумерны. Чтобы их увидеть, нам потребуется немного практики, но, как только вы научитесь их находить, никаких трудностей больше не возникнет. Мы выработаем такой навык, а затем совершим мысленный скачок, который когда-то сделал Фурье.

Волна секундной стрелки (рис. 1.1) на самом деле изображает пространственную волну. Она представляет собой волну времени, движущуюся по оси времени, но на самом деле я изобразил пространственную волну, простирающуюся влево и вправо. Великая идея Фурье охватывает и пространство, и время. Вид волны зависит от физического процесса. Если что-либо движется во времени, подобно звуку, свету или волне от секундной стрелки, тогда это волны времени, а их частоты — это циклы в секунду. Изображение волны от секундной стрелки представляет собой пространственную волну, и ее частота выражается в циклах на дюйм, примерно один цикл на три дюйма (7,5 см), как показано на рисунке. Если бы я изобразил волну от минутной стрелки в том же масштабе, ее частота была бы в 60 раз меньше, или примерно один цикл на 180 дюймов (4,75 м). У пространственной волны часовой стрелки будет примерно один цикл на 2160 дюймов (5,49 км), в двенадцать раз меньше, чем у минутной.

Волны, которые я называю волнами зрения, не следует путать со световыми волнами. Световая волна — это механизм возбуждения палочек и колбочек в сетчатке наших глаз, позволяющий нам видеть. Это волна, которая изменяется во времени на чрезвычайно высоких частотах — около 500 триллионов циклов в секунду. Итак, световые волны — это средство, помогающее видеть, а волны зрения — это то, что мы видим. Световые волны меняются во времени, волны зрения — в пространстве.

Доказательства существования видимых пространственных волн — повсюду. Присмотритесь к этой странице. Буквы, включая пробелы, кажутся более или менее равномерно размещенными по горизонтали. Говоря языком частоты, они расположены на странице построчно с более или менее постоянной частотой по горизонтали, а строки текста размещены со строго определенной постоянной частотой по вертикали. Вы можете думать о тексте как о гребнях волны, а о междустрочном пространстве — как о впадинах между ними. Книги на полках стоят с определенной регулярностью по горизонтали. А сами полки повторяются с достаточно предсказуемой частотой по вертикали. Ни в одном из этих примеров нам не встретились красивые плавные волны Фурье, но все они намекают на понятие пространственных волн в поле зрения.

На самом деле если вы можете увидеть некую «регулярность» в своем визуальном мире, то ее версия по Фурье будет представлять собой волну этой частоты. Я только что измерил расстояние между двумя строками текста в книге, которую я читаю, и оно составляет четверть дюйма (6,4 мм). Таким образом, музыкальная версия этой страницы, представляющей собой, если подумать, картинку, должна иметь пространственную волну Фурье той же частоты, четыре цикла на дюйм.

Потолочные балки или доски деревянного пола повторяются с определенной ритмичностью. Если пол вымощен плиткой, она размещена с одинаковой частотой в двух измерениях, как и черепица, покрывающая крышу. Дворцовый комплекс в Альгамбре (рис. 1.4) доводит идею ритмики плитки, покрывающей полы, стены и потолки, до ошеломительных высот визуального наслаждения.

Рис. 1.4

Суть в том, что вы можете представить все эти пространственные ритмы с помощью только волн Фурье. Все визуальные паттерны, какими бы нерегулярными они ни казались, можно описать как комбинации, суммы изящных постоянных волн.

Но как насчет мира природы? Тот же принцип применим и здесь, хотя и не всегда очевиден, как в случае с океанскими волнами. Травинки на поляне или на лугу повторяются с характерной частотой. То же самое наблюдается и у листьев на дереве, хотя расстояние между ними зависит от разновидности растения. Расстояние между деревьями в лесу тоже имеет характерную частоту, зависящую от их вида. В расположении горных хребтов тоже можно отметить частоты. Регулярность, которую мы наблюдаем у матери-природы, гораздо менее однородна, чем у того, что создано нашими руками. В ее повторяющихся паттернах гораздо сильнее выражена случайность. Тем не менее горные пики не бывают, скажем, с двумя гребнями на дюйм или с двумя гребнями на миллион миль. Существует определенный диапазон частот, который более или менее соответствует тому, чего мы ожидаем от горных хребтов, — примерно два пика на 10 миль (16,09 км). Опять же, все эти визуальные ритмы пляшут под дудку Фурье.

Цель рисунка 1.5 — показать вам, как искать пространственные частоты в окружающем мире, как взглянуть на него альтернативным способом. На фотографии запечатлены растения-суккуленты из моего сада в Беркли, штат Калифорния. В нем повсюду присутствуют пространственные частоты. Как только вы научитесь их видеть здесь, а потом и где угодно, вы без труда совершите мысленный скачок, который сделал Фурье, и осознаете, что только волны и их частоты — всё, что нужно для полного описания визуальной сцены.

Обратите внимание на терракотовые горшки — рукотворные компоненты этой сцены. Они расположены в узлах не очень ровной сетки. Они расставлены не равномерно, но есть примерная схема повторения — скажем, один горшок через каждый дюйм или около того. В интерпретации Фурье на этой части картины есть группа волн с небольшими отклонениями от основной частоты, чем и объясняются нарушения строгой закономерности.

Узор на горшках тоже повторяющийся. Рассмотрим на рисунке линию а, проходящую через горшки и обозначенную нижней парой стрелок. Сосредоточьте внимание на регулярных частотах вдоль одной линии, как будто интенсивность света вдоль нее — это амплитуда звука в музыкальном фрагменте. Можете ли вы представить себе слово «yes», произнесенное с разной интенсивностью света вдоль воображаемой линии, проведенной в моем саду?

Начиная слева по линии а,