Татьяна Образцова - Логические игры для детей Страница 14

«Пчелиный рой»

Предназначена игра для детей старшего возраста и подростков. Количество игроков не ограничивается, но желательно около 5 человек. На решение эвристической задачи отводится один час. Выигравшим считается тот, кто первым найдет правильный ответ.

Пчелы в числе, равном квадратному корню из половины всего их роя, сели на куст жасмина, оставив позади себя 8/9 роя. И только одна из пчелок того же роя кружится возле лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно попавшей в западню сладко пахнущего цветка. Сколько всего пчел было в рое?

Решение.

Обозначим искомую численность роя через x, тогда уравнение будет иметь вид:

квадратный корень из дроби x/2+8/9+2=x.

Приводим это уравнение в более простую форму, вводя вспомогательное неизвестное:

y = квадратный корень из дроби x/2.

Тогда x=2х(y в квадрате), а уравнение будет иметь такой вид:

y+16хy (в квадрате) /9+2=2хy (в квадрате), или 2хy (в квадрате) – 9хy – 18=0

Решив это уравнение, получаем два значения для y:

y(первый) = 6, y(второй) = —3/2.

Соответствующие значения для x:

x(первый) = 72, x(второй) = 4,5.

Так как число пчел должно быть целое и положительное, то удовлетворяет задаче только первый корень: рой состоял из 72 пчел. Проверим:

квадратный корень из дроби 72/2+8/9х72+2=6+64+2=72.

«День рождения»

Игра предназначена для детей старшего возраста и подростков. Количество игроков не ограничивается, но желательно около 5 человек. На решение эвристической задачи отводится 15 минут. Выигравшим считается тот, кто первым найдет правильный ответ, после объявления которого участники игры рассказывают о способах решения.

У Маши и ее отца сегодня день рождения. Отец старше дочери ровно в 11 раз. Через 6 лет он будет старше ее только в 5 раз, через 16 лет – в 3 раза, через 36 лет – всего в 2 раза. Сколько лет Маше?

Способ решения.

Пусть Маше будет x лет, а отцу – y. По условию Маша сейчас моложе отца в одиннадцать раз, то есть 11хx=y.

Через 6 лет: (x+16)х5=y+6.

Через 16 лет: (x+16)х3=y+16.

Через 36 лет: (x+36)х2=y+36.

Решая любую пару уравнений, получим x=4. То есть Маше 4 года. Отцу, соответственно, исполнилось 44 года.

Задачу можно решить, и не прибегая к составлению уравнений. Для этого необходимо написать два ряда чисел:

1 2 3 4 5

11 22 33 44 55

В первом ряду – сколько лет могло исполниться Маше, во втором – отцу. 1 и 11 отпадает по логике вещей.

Теперь проверим следующую пару: 2 и 22. Если Маше сейчас 2 года, а отцу 22 года, то через 6 лет Маше будет 8, а отцу 28, 8 х 5 не равно 28, то есть условие задачи не соблюдается.

Третья пара чисел тоже отпадает, так как 3+6=9,

33+6=39, 9х5 не равно 39.

Проверяя пару 4 и 44, получаем: 4+6=10, 44+6=50. Первое условие соблюдается. Проверяем дальше.

4+16=20, 44+16=60, 20х3=60. Второе условие тоже соблюдено.

Проверим третье условие.

4+36=40, 44+36=80, 40х2=80. Таким образом, мы можем сказать, что Маше исполнилось 4 года, а отцу – 44 года.

«Задача Ньютона»

Игра для подростков. Дети садятся в круг (каждый за своим столом). У всех участников игры должны быть ручки и листы бумаги. Оговорив условия задачи, участники засекают время на ее решение – 1 час, по истечении которого забираются

листочки и проверяются. Сначала все игроки сообщают о результатах, которые они получили, затем последовательно опрашиваются те, кто правильно решил, а в конце все остальные. Выигравшим считается игрок, быстрее других нашедший правильный ответ.

Условие задачи:

«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 1/3 гектара, 10 гектаров и 24 гектара. Первый луг прокормил 12 быков в продолжение 4 недель, второй – 21 быка в течение 9 недель».

Вопрос: «Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?»

Решение.

Введем вспомогательное неизвестное у, которое будет означать, какая доля первоначального запаса травы прирастет на один гектар в течение недели, то есть величина у – это коэффициент прироста травы.

На первом лугу в течение недели нарастет травы 3 1/3ху, а в течение 4 недель, соответственно, прирастает 3 1/3хух4=40/3 того запаса, который первоначально имелся на 1 гектаре. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась бы и сделалась равной 3 1/3+40/3ху гектаров. То есть, быки съели бы травы столько, сколько занимает луг площадью в 3 1/3+40/3ху гектаров.

В течение одной недели быки съели четвертую часть этого количества, а один бык – 1/48 часть, то есть запас травы, имеющийся на площади 3 1/3+40у/48=(10+40ху)/144 гектаров.

Подобным образом можно вычислить площадь луга, на котором может кормиться один бык в течение одной недели.

Недельный прирост на 1 гектар = у,

девятинедельный прирост на 1 гектар = 9ху,

девятинедельный прирост на 10 гектаров = 90ху

Площадь, которой будет достаточно для прокорма 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90ху

Площадь участка, содержащая запас травы для кормления 1 быка в течение недели, высчитывается следующим образом:

(10+90ху)/9х21=(10+90ху)/189 гектаров.

Так как обе нормы потребления травы должны быть одинаковыми, то получаем уравнение: (10+40ху)/144=(10+90ху)/189.

Когда решим это уравнение, получим значение у: у=1/12.

Теперь нужно определить площадь луга, запас травы которого достаточен для прокорма одного быка в течение недели:

(10+40ху)/144=(10+40х1/12)/144=5/54 гектара.

Только проделав эти дополнительные вычисления, можно приступить к решению задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем:

(24+24х18х1/12)/18хх=5/54, из этого уравнения находим Х: Х=36. Значит, третий луг может прокормить за 18 недель 36 быков.

Игры-задачи из книги Джонатана Свифта «Путешествие Гулливера»

Игра представляет интерес для подростков, уже прочитавших это произведение английского прозаика. Лучше поиграть сразу после прочтения книги, когда еще живы впечатления и ребят интересует поиск разгадок волшебных обстоятельств, которым подвергся во время своих злоключений Гулливер.

«Жесткая постель»

Дети садятся в круг (каждый за своим столом). Выбирается ведущий. У всех участников игры должны быть ручки и листы бумаги. После прочтения условий задачи ведущий засекает время на ее решение – 30 минут, по истечении которого забираются листочки и проверяются. Сначала все игроки сообщают о результатах, которые они получили, затем последовательно опрашиваются те, кто правильно решил, а в конце все остальные. Выигравшим считается игрок, который быстрее нашел правильный ответ.

Условие задачи. «Шестьсот тюфяков обыкновенных лилипутских размеров было доставлено на подводах в мое помещение, где портные принялись за работу. Из 150 тюфяков, сшитых вместе, вышел один, на котором я мог свободно поместиться в длину и ширину. Четыре таких тюфяка положили один на другой, но даже и на этой постели мне было так жестко спать, как на каменном полу».

Вопрос:

– Почему Гулливеру было жестко на этой постели?

Решение.

Расчет, сделанный лилипутами (Свифтом), правильный. Если тюфяк лилипутов в 12 раз короче и, конечно, в 12 раз уже тюфяка обычных размеров, то поверхность его была в 12х12 раз меньше поверхности нашего (человеческого) тюфяка. Чтобы Гулливеру лечь, ему нужно было, следовательно, 144 (круглым счетом 150) лилипутских тюфяка. Но лилипутский тюфяк очень тонкий (в 12 раз тоньше человеческого) – ясно, почему, даже положив четыре слоя таких тюфяков, Гулливеру было жестко: получился тюфяк втрое тоньше человеческого.

«Паек и обед Гулливера»

Дети садятся в круг (каждый за своим столом). Выбирается ведущий. У всех участников игры должны быть ручки и листы бумаги. После того как ведущий прочитает условие задачи, засекается время на ее решение – 30 минут, по истечении которого забираются листочки и проверяются. Сначала все игроки сообщают о результатах, которые они получили, затем последовательно опрашиваются те, кто правильно решил, а в конце все остальные. Выигравшим считается игрок, быстрее нашедший правильный ответ.

Условие задачи. Готовя обед для Гулливера, лилипуты взяли следующий объем продуктов, чтобы накормить «великана»: «Ему будет ежедневно выдаваться паек съестных припасов и напитков, достаточный для прокормления 1728 подданнных страны лилипутов». В другом месте Гулливер скажет: «Триста поваров готовили для меня кушанья. Вокруг моего дома были поставлены шалаши, где происходила стряпня и жили повара со своими семьями. Когда наступал час обеда, я брал в руки 20 человек прислуги и ставил их на стол, а человек 100 прислуживали с пола: они подавали кушанья, остальные приносили бочонки с вином и другие напитки на шестах, перекинутых с плеча на плечо. Стоявшие наверху по мере надобности поднимали все это на стол при помощи веревки и бокалов».

Вопросы:

– Из какого расчета назначали лилипуты такой большой паек?

– Зачем понадобился такой огромный штат прислуги для прокормления одного человека?