Математика нуждается в систематизации - Иван Деревянко Страница 4

На самом же деле это далеко не так. Главная трудность состоит в том, что требуется не любое число, а только такое, которое было бы, как говорят, математики, инвариантно по отношению как к линейным пространствам, так и к любому нелинейному. Попросту говоря, такое число не должно реагировать ни на возведение в степень, ни на извлечение корня и, в идеале, ни на любую другую операцию над числами, результатом которой может быть это инвариантное число. Эта проблема имеет давнюю историю.

Еще в середине 19-го века Д. Буль разработал математический аппарат символической логики — Булевой алгебры, в основе которой были определены две операции по отношению к единице. Этот аппарат постоянно совершенствовался и нашел широкое применение в топологии, теории вероятности, функциональном анализе и в, других областях математики. По сути, этот аппарат наиболее близок к тому идеалу, о котором шла речь выше.

Если говорить об операциях, то их в Булевой алгебре фактически три: помимо сложения и умножения применяется отрицание (дополнение). Кроме элемента X, единицы и нуля алгебра содержит элемент Сх в качестве дополнения к X. Естественно, имеется соответствующий набор аксиом, которым должны удовлетворять операции. Все это позволяет достичь весьма высокой степени абстрагирования, но тем не менее полной универсализации обеспечить не удалось. К тому же оказался достаточно сложным "выход" из Булевой алгебры в обычную, да и "вход" тоже.

Теория групп в этом отношении более универсальна, т. к. имеет в своем распоряжении, кроме единичного, обратный элемент, позволяющий любое выражение приводить к единице. Однако несмотря на свою универсальность и существенные успехи в прикладных науках эту теорию в ее обычном виде вряд ли можно будет использовать в данном случае по прямому назначению. Видимо потребуются некоторые усовершенствования формального характера.

Дело в том, что в прикладных науках так называемых непрестижных отраслей, в том числе в экономике, никто, пожалуй, кроме Л. В. Канторовича, всерьёз математику не применял. Задачи вычислительно- оптимизационного характера являются вторичными, поэтому они не в счет, ибо математика в них выполняет роль счетного инструмента, которому безразлично, что считать. Методологической нагрузки она не несёт практически никакой. И в этом смысле экономике не повезло еще со времён Маркса, который, судя по всему, только к концу своей научной карьеры осознал, что без солидной математической основы ни о какой политэкономии социализма, а тем более коммунизма, не может быть речи.

В частности, научный уровень "Математических рукописей", время проявленного интереса к разным областям математики и попытки использовать их при написании "Капитала", очевидно, могут служить; основанием для вывода о том, что затруднения с математикой у Маркса возникали не потому, что он не смог разобраться в существовавшем тогда математическом аппарате (такой проблемы не могло существовать для человека, изучавшего иностранные языки только для того, чтобы читать интересующие его источники в оригинале).

Почти наверняка можно утверждать, что эти затруднения носили методологический характер, причем не столько со стороны математики, сколько со стороны политэкономии. Эта математическая задача в ряду с предыдущими выделяется своими негативными последствиями.

Не будет преувеличением сказать, что ее решение, а точнее — нерешение, является причиной того, что до сих пор не разрешено главное противоречие социализма — распределение по труду. Для выяснения сути этого противоречия придется привлекать методы не только из философии, но и из физики, и даже из биологии.

Итак, суть этой задачи сводится к конструированию такого механизма, который позволял бы легко переходить, например, от функционального математического аппарата к множественному, комплексному или параметрическому, т. е. от любого к любому. Это жизненно необходимо, в принципе, для описания любой реальной системы, но особенно — экономической, где невозможно сбалансировать хозяйственный механизм, не имея соответствующих эквивалентов, подобных механическому эквиваленту теплоты в физике.

Почему речь идет о конструировании механизма, а допустим, не о разработке или создании? Дело в том, что при небольшой смысловой разнице в терминах все-таки есть особенность, которую любят подчеркивать математики: они ничего не должны изобретать, а должны конструировать, ибо изобретенный элемент может нарушить логическую строгость доказательства. Против этого нельзя возражать, но опять-таки, если это требование не распространить на исходные "кирпичики", из которых "строится" логика доказательств. Эти универсальные "кирпичики" можно и должно изобретать, т. е. получать путем максимально возможного абстрагирования используемых математических средств и понятий.

Математики в таких случаях говорят, что необходим набор неопределимых (исходных, первичных) понятий. Философы тем более не сомневаются в необходимости таких абсолютных абстракций. В этом вопросе нет никаких разногласий. Но они неизбежно возникают, когда требуется уточнить этот набор как по форме, так и по содержанию.

Одни считают, что это должны быть некоторые множества, другие ориентируются на логические операции, третьи убеждены, что надо брать за основу материалистические категории, а четвертые предпочитают опираться на свою интуицию. Нет единства не только в качественной, но и в количественной оценках этого набора понятий.

Представители школы Э. Маха, и особенно в этом преуспел его ученик А. Эйнштейн, считают, что чем меньше исходных предпосылок имеет теория, тем она совершеннее. И вообще, если бы удалось всю теорию вывести из одного понятия, то это был бы идеальный случай. По всей видимости именно из этих соображений автор теории относительности изобрел пространственно-временной континуум, оматеризовав при этом пространство и время. Приверженцами монизма являются, по сути дела, все ортодоксальные теоретики.

Плюралисты же, наоборот, считают, что нельзя ограничиться каким-то определенным набором несводимых к единому началу понятий. Рожденный Г. Лейбницем плюрализм до недавнего времени считался философией современных идеалистов, к которым причисляли прагматистов, неопозитивистов и других "-истов". Теперь же плюрализм возведен в ранг государственной политики. Своего рода умеренным плюрализмом можно считать конвенционализм А. Пуанкаре, согласно которому вопрос об исходных научных понятиях должен решаться посредством соглашения (конвенции) между учеными, исходя из соображений простоты, удобства и других признаков.

Большой популярностью до сих пор пользуется дуализм Декарта и Канта, которые пытались примирить материализм и идеализм. Заметный след в науке оставили триады Гегеля, которыми, по выражению Ленина, "кокетничал" Маркс в 1 главе "Капитала", в результате чего, по его мнению, никто из марксистов не понял Маркса полвека спустя. Но не поняли (можно утверждать, что и до сих пор не понимают) не только Маркса, но и Гегеля. Очевидно по этой причине, а может быть вследствие осознания их величия и гениальности, критики не осмелились "наклеить" хлесткий "ярлык" в виде какого-нибудь "-изма" на учение, основанное на триадах.

Не встречается в философской литературе такого же "-изма", в основе которого