Владимир Живетин - Методы и средства обеспечения безопасности полета Страница 11

Пусть П=40 %, тогда П*=1/30. Параметр γ рассмотрим как управление. Он определяет долю изымаемых из оборота денег. Выбирая разные значения γ, получим разное поведение финансовых потоков микроавиационной системы. Сначала найдем значение γ, соответствующее равновесному функционированию банка, при котором δe=δe0=const. Согласно формуле (1.15), найдем γ=П*/(1+П*)=1/31. Таким образом, примерно 3,226 % денег используется в разных целях, а 96,774 % выдается в кредит. При этом микроавиационная система не расширяется, не разоряется, а находится в равновесном состоянии.

Далее рассмотрим два случая: γ=γ(1)=0,05 и γ=γ(2)=0,01. При этом a=0,3; b=b(1) 0,000917; b=(2) 0,001150. Соответствующие значения корней характеристического уравнения (1.18)

λ(1)1 –0,0015; λ(1)2=–0,5985, λ(2)1=–0,6019; λ(2)2=+0,0019.

В первом случае процесс описывается формулой

δe=104(1,0025e–0,0015t  – 0,0025e–0,5985t),

где время t измеряется в сутках. При этом величины δe, следовательно, δn – убывающие и стремятся к нулю при t → ∞. Это означает, что микроавиационная система через некоторое время разорится.

Во втором случае процесс описывается функцией

δe=104(0,9918e–0,6019t+0,0032e0,0019t)

Здесь первое слагаемое величины δe быстро убывает, а второе медленно, но возрастает. Оба слагаемых положительные. Поэтому, хотя вначале величина δe будет убывать, и состояние микроавиационной системы будет ухудшаться, через некоторое время она начнет расширять свою деятельность. Параметры δe и δn будут возрастать.

1.5. Анализ исходной модели

Дополнив соотношения (1.3) дифференциальным уравнением (1.13), получим следующую систему уравнений:

где (1+A)=(1+П*) / τ, δk(t)=δp(t). Отметим, что при заданном значении δk(t) система (1.23), состоящая из двух дифференциальных уравнений, содержит три неизвестные функции: D(t), δn(t), δe(t), являясь, таким образом, незамкнутой. Это означает, что для ее решения, в частности, необходимо задать δe(t). Однако в этом случае исключается возможность проведения всестороннего анализа кредитной политики. Поэтому предлагается пойти по следующему пути.

Система (1.23) включает в себя величину δk(t), т. е. кредитный поток, который может быть реализован по распоряжению руководства микроавиационной системы. При максимальном использовании финансовых ресурсов микроавиационной системы поток δk(t) включает в себя поток возвратного кредита, а также часть прибыли и имеет, таким образом, следующий вид:

δk(t)=δk(t – τ)+γ1Aδk(t – τ),

где Aδk(t – τ) – прибыль в виде процентов по кредиту, отданных при (t – τ), γ1 – коэффициент, характеризующий ту часть прибыли, которая отдана в кредит в момент времени t. Изменяя коэффициент γ1, можно получать различные значения δk(t). При этом γ1 < 1, поскольку расходная часть δe(t) включает в себя и другие компоненты.

Рассмотрим введенные выше коэффициенты γ2, γ3, γ4 и γ5, характеризующие части дохода Aδk(t – τ), направленные на формирование финансовых потоков δзп(t), δн(t), δос(t) и δпр(t) соответственно, где δзп(t) – поток заработной платы; δн(t) – поток налогов; δос(t) – поток расходов на развитие основных средств; δпр(t) – поток средств на прочие расходы.

При этом получим

δk(t)=δk(t – τ)+γ1Aδk(t – τ); δзп(t)=γ2Aδk(t – τ);

δн(t)=γ3Aδk(t – τ);                                              (1.24)

δос(t)=γ4Aδk(t – τ); δпр(t)=γ5Aδk(t – τ).

Обозначим через γ=γ1+γ2+γ3+γ4+γ5. Если вся прибыль направляется в оборот, то γ=1, условие γ < 1 означает, что часть средств отправлена на накопление. В этом случае расходная часть δe в (1.23) должна включать в себя дополнительную компоненту δнакопл=Aδk(t – τ).

Соотношения (1.24) записаны для идеальной ситуации, когда поступившие деньги передаются внешним потребителям без запаздывания. В действительности микроавиационная система, как и любой другой реально функционирующий механизм, исполняет действия с запаздыванием (например, это время, необходимое для обработки документации). Обозначим его через τ0. В общем случае τ0 имеет различные значения при передаче различных составляющих δe различными службами и отделами микроавиационной системы.

Рассмотрим частный случай, когда величина τ0 неизменна для всех подсистем. При этом соотношения (1.24) примут форму

δk(t)=(1+γ1A)δk(t – τ1); δзп(t)=γ2Aδk(t – τ1); δн(t)=γ3Aδk(t – τ1);

δос(t)=γ4Aδk(t – τ1); δпр(t)=γ5Aδk(t – τ1),                         (1.25)

где τ1=τ+τ0. Если при этом выполняется условие γ=1, то неконтролируемых расходов нет. Тогда с учетом полученных зависимостей равенства (1.4) и (1.6) примут вид

δe(t)=γ*Aδk(t – τ,); δn(t)=(1+A)δk(t – τ,),          (1.26)

где γ*=γ1+(1+γ2)+γ3+γ4+γ5 в общем случае не равно двум.

Преобразуем первое уравнение в (1.26). Для этого введем замену s=t – τ1 и разложим δe(s+τ1) в ряд Тейлора. Ограничившись первым членом разложения в силу малости производных более высоких порядков, получим δe(s+τ1)=δe(s)+(s)τ1. Тогда

Положим, что кредит выдан на срок, больший, чем одни сутки, запаздывание τ0 по проведению финансовых операций составляет не менее одних суток в силу выбранной системы отсчета. При этом система (1.23) с учетом (1.27) примет следующий вид:

где a1=–1 / τ, a2=–1 / τ1; τ ≥ 1; τ1 > 1. Система (1.28) содержит три уравнения и три неизвестных: D(t), δe(t) и δn(t), являясь, таким образом, замкнутой. В качестве управления выступает поток кредитных средств δk(t). При заданных начальных условиях D(t0), δe(t0) и δn(t0) система (1.28) имеет решение (τ ≠ 0; τ1 ≠ 0), если она совместна.

Для анализа полученной модели сведем рассматриваемую систему уравнений к одному уравнению третьего порядка

где

Q(t)=B1 – B2 – (B1a2 – B2a1)δk; B1=(1 / τ)(1+A);

B2=(1 / τ)1γ*A; m1=–(a1+a2); m2=a1a2; m3=0.