Владимир Живетин - Методы и средства обеспечения безопасности полета Страница 12

С учетом того, что m3=0, m1=const, m2=const запишем это уравнение в форме

или

Проинтегрировав (1.29), получим

где =0; =0. Окончательно имеем

где

Устойчивость полной модели

Применим модель (1.30) для анализа финансового состояния микроавиационной системы. Для этого запишем ее в следующем виде:

где 2n=т1=(τ1+τ)/ττ1; k2=m2=1/ττ1; τ1=τ+τ0;

Очевидно, что модель (1.31) пригодна для использования в качестве математической модели только в том случае, если она устойчива. Покажем, что это так. Для этого проанализируем состояние микроавиационной системы без влияния внешних воздействий (Q*(t)=0), при этом уравнение (1.31) представим в виде

Это уравнение описывает свободные изменения оборотного капитала D(t) микроавиационной системы. В общем случае при малых начальных возмущениях процесс D(t) может быть либо сходящимся (к D(t0)), что будет означать устойчивость, либо расходящимся – в противном случае.

В соответствии с теорией систем [28, 29] уравнение (1.31) при Q*(t)=0 имеет общее решение D(t)=c1 exp(λ1t)+c2 exp(λ2t), где λ1 и λ2 – корни характеристического уравнения

λ2+2nλ+k2=0.

Покажем, что эти корни действительны и различны, т. е. λ1,2=–n ± , где (n2 – k2) > 0.

С учетом того, что 2n=(2τ+τ0)/(τ(τ+τ0)) и k2=1/(τ(τ+τ0)), разность n2 – k2={τ30 : [4τ(τ+τ0)]} > 0, поскольку τ > 1, τ0 ≥ 1. Кроме того, полученным значениям n и k соответствуют отрицательные собственные значения.

Сказанное говорит об устойчивости системы (1.31) в соответствии с теорией систем. Это означает, что при принятых условиях микроавиационная система устойчива. При этом оборотный капитал микроавиационной системы при δk(t)=0 останется неизменным, т. е. микроавиационная система, не выделяющая кредиты, не может быть убыточной или прибыльной. При отсутствии прибыли нет и всех тех расходов, которые включены в расходную часть δe(t). Отметим, что в соответствии с существующим законодательством не все налоги оплачиваются, исходя от прибыли. Это, в свою очередь, означает, что модель (1.31) не совсем верна, поскольку при δk(t)=0 выполняется условие δн(t)=0. Для более тщательного анализа необходимо принять δн(t)=γ3Aδk(t – τ)+c1, где c1 – постоянная величина, определенная с учетом действующего законодательства.

С учетом сделанных выводов решение (1.31) запишем в виде

где ch(·) и sh(·) – гиперболические косинус и синус соответственно. Первое слагаемое D1(t)=[D0ch(λt)+(+nD0)sh(λt) / λ]e–nt в терминах теории систем описывает свободные колебания, что для микроавиационной системы означает изменение оборотного капитала. В силу устойчивости системы (1.31) эти изменения удовлетворяют следующим условиям:

С их учетом второе слагаемое D2(t) в (1.32) примет форму

Условия прибыльности и убыточности

Определим, при каких ограничениях, накладываемых на параметры системы, и каких управлениях имеют место:

– прибыльность > 0, где t1 – момент времени, начиная с которого микроавиационная система начала давать прибыль;

– убыточность < 0, где t2 – момент времени, начиная с которого микроавиационная система стала убыточной;

– крах [Ky(t0)+D(t3)] ≤ 0, где t3 – момент времени, начиная с которого капитал Ky(·) за счет оборотных средств D(t3) стал нулевым или отрицательным.

Очевидно, что для различных значений времени микроавиационная система может быть прибыльной либо убыточной до тех пор, пока не произойдет третье событие, означающее разорение микроавиационной системы и прекращение ее существования.

Определим условия, при которых микроавиационная система является прибыльной. Для этого рассмотрим (1.32) и представим при нулевых начальных условиях в виде

Поскольку в данном выражении подынтегральная функция положительна, условие > 0 выполняется, если Q*(μ) > 0. Очевидно, при этом Q*(t) > 0 и, следовательно,

Осуществим в последнем неравенстве замену

Q(t)=(B1 – B2)(t) – (B1a2 – B2a1)δk(t),

при этом получим неравенство

Задача анализа прибыльности микроавиационной системы заключается, таким образом, в выборе такой совокупности параметров δk(t), τ, τ0, P1, γ1, γ2, γ3, γ4, γ5, при которой выполняется условие (1.33).

Процентная компенсация возможных технико-экономических потерь

Реальная возможность риска, возникающего при осуществлении пассажироперевозок микроавиационной системой обусловливает необходимость повышать процентную ставку П* (1.7) до значения П*1, зависящего от уровня риска потерь технико-экономического потенциала, который определяется вероятностью пропуска опасной ситуации или критической ситуации Р4, которая будет введена в главе II, и в дальнейшем будет представлен метод ее расчета. Итак, вероятность Р4 характеризует потери техники в аварии, катастрофе.

Приведем необходимые функциональные соотношения (математическую модель) учета вероятности Р4 при расчете процентной ставки П* в момент его выдачи, т. е. экономический эквивалент, компенсирующий риск системы.

Представим возвратные средства Dв в виде

где 360 – условное количество дней в году.

Обозначим через pi вероятность, с которой в микроавиационную систему может поступить сумма Dвi, составляющая k% от величины Dв.

Величина Dвi представляет собой дискретную случайную величину, принимающую возможные значения Dв1, Dв2, …, Dвn с вероятностями p1, p2, …, pn, . Математическое ожидание M [Dв] вычисляется по известной формуле

Выделим частный случай, когда n=2, причем величина Dв принимает свои граничные значения: полный возврат и полный невозврат. Вероятности этих двух событий равны соответственно (1 – P*4) и P*4. При этом, как следует из (1.34),

M[Dв]=(1 – P*4)Dв+P*4 · 0,

а формула для суммы средств, возвращаемых в микроавиационную систему, примет следующий вид:

где D – исходная величина финансовых средств (кредита); P*4 – вероятность невозврата финансовых средств; П(t – τ) – процентная ставка, назначенная с учетом его потерь; τ – срок возврата кредита (в днях). В дальнейшем будем называть D финансовыми средствами или кредитом, полученным эксплуатирующей организацией.

Отметим, что P*4=P4 · P'4, где P'4 – вероятность того, что D(t) пропали во время реализации проекта, чему соответствует событие Dв(t) ≤ 0. Здесь имеет место вероятность P4, подлежащая вычислению.