Владимир Живетин - Системные человеческие джунгли рисков Страница 13

Уравнения (1.7)–(1.9) представляют собой математическую модель материальной компоненты системы, т. е. подсистемы (3). Функционирование подсистем (1, 2, 4) системы, создающее управления подсистемой (3) и соответствующими процессами , , обеспечивается трудовым и творческим потенциалами, формируемыми из состава общества. Каждый человек обладает интеллектуально-энергетическим потенциалом θин, который изменяется во времени под влиянием внешних и внутренних факторов. Заполнив подсистемы (1, 2, 4) людьми с интеллектуально-энергетическим потенциалом различного уровня, мы получим различные управления, которые сформируют различный материально-энергетический потенциал Ем в подсистеме (3) динамической системы. При этом изменение Ем и Еин во времени описывается системой нелинейных уравнений вида:

где Ем, Еин – материальная и интеллектуально-энергетические компоненты; полная энергия динамической системы Едс = (Ем, Еин); е(1)м, е(1)ин – входные потоки энергии материального и интеллектуально-энергетического; е(2)м, е(2)ин – выходные компоненты энергетических потоков.

В системе (1.10) материальный поток е(2)м(t) зависит от коэффициента функциональных затрат K(t), т. е. е(2)м(t) = е(2)м(K(t), t). Коэффициент K(t) зависит от интеллектуально-энергетического потенциала людей, наполняющих подсистемы (1–4), т. е. K(t) = K(Eин, t). При некоторых значениях Eин(t) коэффициент K(t) достигает критического значения , и тогда Ėм < 0, т. е. материальный потенциал системы падает. Возможность восстановления такого состояния динамической системы, при котором Ėм > 0, когда K(t) > (ограничение было снизу, а e(2)м возрастает по K(t)), зависит от времени τ пребывания K(t) в критической области. При некотором τ* реализуется значение Eм < (Eм)кр, где (Eм)кр – критическое значение Ем, при котором система неспособна реализовать поставленную цель.

Решение полученной нелинейной системы дифференциальных уравнений возможно численными методами.

Опасные и безопасные состояния динамической системы. Развитие и деградация

Найдем стационарное решение системы (1.7), когда δn и δe – постоянные величины. Из уравнений (1.7) при = 0, = 0 следует, что возможности (расход) всегда будут равняться потребностям (поступлениям), если имеет место равенство

(1 – γ)(1 + р*) = 1.        (111)

При этом доля расходов γ удовлетворяет условию

Таким образом, обобщенным параметром, определяющим допустимые расходы, выступает произведение τр. График зависимости (1.12) представлен на рис. 1.20. Если γ принадлежит кривой γ = f(τp), то количество отданного энергетическо-информационного потенциала θ равно количеству полученного θ. В случае когда γ не принадлежит кривой, нарушается баланс, и динамическая система либо развивается, либо деградирует. Рассмотрим это на режиме возмущенного движения для процесса δe(t), изменение которого задано первым уравнением системы (1.7).

Рис. 1.20

Исключив δn(t) из системы (1.7), получим одно дифференциальное уравнение второго порядка относительно δe(t):

После того как построен процесс δe(t) согласно уравнению (1.13), неизвестный процесс δn(t) может быть определен из первого уравнения (1.7). Если коэффициенты уравнения (1.13) постоянны, то, используя известные методы, получим его аналитическое решение. Для этого запишем характеристическое уравнение

τDτkλ2 + (τD + τk)λ + [1 – (1 – γ)(1 + p*)] = 0,              (1.14)

решение которого имеет вид

где Δ = (τD + τk)2 – 4τDτk [1 – (1 – γ)(1 + p*)].

Если равенство (1.11) не выполняется, то в зависимости от величины и знака детерминанта δ корни λ2 будут вещественными или комплексными.

Введем обозначение

При этом

Величина а2 всегда положительна. Положительна также и а в силу того, что τD > 0, τk > 0. Если τD < 0 и τk < 0, то рассматриваются динамические системы не с запаздывающим аргументом, а с опережающим, а это нонсенс (не может быть).

Величина b может быть как положительной, так и отрицательной. В зависимости от соотношения а2 и b дискриминант δ может иметь разный знак.

При этом возможны следующие варианты.

Вариант 1. Случай, когда a2 > b, дискриминант Δ > 0 и оба корня λ1,2 вещественные. В этом случае общее решение уравнения (1.13) имеет вид

δe(t) = exp(–at){1/2 · (c1 + c2)exp(ct) + 1/2 · (c1 – c2)exp(–ct)},       (1.16)

где .

Постоянные с 1 и с2 зависят от начальных данных δе0 и и параметров системы следующим образом:

Анализ поведения динамической системы начнем со случая b = 0, соответствующего равновесному состоянию рассматриваемой системы. При этом выполняется условие (1.11) и Δ = a2, когда имеет место λ12 = –a ± a, т. е. λ1 = 0, λ2 = –2a.

Общее решение (1.16) примет вид

δe(t) = (c1 + c2) / 2 + (c1 – c2) / 2 · exp(–2at),

где c1 = δe0, c2 = / a + δe0.

Из последнего равенства следует: равновесное состояние δe = (c1 + c2)/2 реализуется при любом значении t, если имеет место равенство c1 = c2. Если c1 ≠ c2, то в силу того, что a > 0, такое состояние реализуется при больших значениях t, когда

δe ≠ (c1 + c2)/2.

При t → +∞ условие δe = (c1 + c2) / 2 соблюдается независимо от значений c1 и c2 (рис. 1.21).

Рис. 1.21

Таким образом, состояние динамической системы, когда δe = (c1 + c2) / 2, обладает устойчивостью энергетических потоков на входе в динамическую систему и на О t выходе из нее по отношению к начальным возмущениям. При этом независимо от того, какое из неравенств – δe(0) > (c1 + c2) / 2 или δe(0) < (c1 + c2) / 2 – имело место, с увеличением t соотношение (1.16) становится более точным.

Вариант 2. Случай, когда b ≠ 0, а δ > 0, поведение системы отличается от равновесного. Если при этом a > 0 и c = () > 0, то для больших t, согласно (1.16), имеет место приближенная зависимость

Здесь возможны следующие две ситуации:

1) .

Условие выполняется при b > 0. При этом δe(t) уменьшается с увеличением t, δ Α δ < 0 что характеризует процесс снижения энергетического потенциала динамической системы (рис. 1.22).