Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Страница 26

Читается это так: «Дзета от s равна взятому по всем простым числам произведению от величины, обратной единице минус p в степени минус s». Подразумевается, что маленькое p под знаком ∏ означает «по всем простым».[55] Вспоминая определение функции ζ(s) в виде бесконечной суммы, можно подставить эту сумму в левую часть и получить

И сумма в левой части, и произведение в правой части простираются до бесконечности. Это, кстати, дает еще одно доказательство того факта, что простые числа никогда не кончаются. Если бы они вдруг кончились, то произведение в правой части содержало бы конечное число множителей, и тем самым мы его немедленно вычислили бы как какое-то число при абсолютно любом аргументе s.[56] При s = 1, однако, левая часть представляет собой гармонический ряд из главы 1, сложение членов которого «уводит нас в бесконечность». Поскольку бесконечность в левой части не может равняться конечному числу в правой, количество простых чисел с необходимостью бесконечно.

Что же такого — как вы, должно быть, недоумеваете — замечательного, такого неординарного и вызывающего имеется в выражении (7.3), что оно удостоилось столь высокопарного имени?

Окончательно это прояснится только в одной из последующих глав, когда мы на самом деле повернем Золотой Ключ. На данный же момент главное, что должно производить впечатление (на математиков оно, во всяком случае, производит большое впечатление), — это что в левой части выражения (7.3) мы имеем бесконечную сумму, пробегающую все положительные целые числа 1, 2, 3, 5, 6, …, а в правой его части — бесконечное произведение, пробегающее все простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….

Выражение (7.3) — Золотой Ключ — на самом деле называется «эйлерова формула произведения».[57] Она впервые увидела свет, хотя и в несколько иной обработке, в статье Variae observationes circa series infinorum, написанной Леонардом Эйлером и опубликованной Санкт-Петербургской академией в 1737 году. (Заглавие переводится как «Различные наблюдения о бесконечных рядах». Прочитайте еще раз оригинальное латинское название и убедитесь в справедливости моего тезиса из главы 4.viii о легкости, с которой читается Эйлерова латынь.) Точная формулировка утверждения о Золотом Ключе в той работе такова.

Si ex serie numerorum primorum sequens formetur expressio

erit eius valor aequalis summae huius seriei

Латынь означает: «Если из последовательности простых чисел образовать следующее выражение…, то его значение будет равно сумме ряда…» Опять же, если вы знакомы с десятком основных латинских окончаний (-orum — родительный падеж; -etur — пассивный залог сослагательного наклонения настоящего времени и т.п.), то эйлерова латынь вас не отпугнет.

Делая наброски идей, из которых выросла данная книга, я сначала полез в математические тексты у себя на книжной полке, чтобы найти доказательство Золотого Ключа, подходящее для читателей, не являющихся специалистами. Я остановился на одном, показавшемся мне подходящим, и включил его в книгу. На более поздней стадии работы над книгой мне подумалось, что стоит, пожалуй, проявить авторское тщание, и я отправился в научную библиотеку (в данном случае — замечательное отделение по наукам, промышленности и бизнесу Нью-Йоркской публичной библиотеки в центре Манхэттена) и отыскал оригинальную статью в собрании трудов Эйлера. Данное им доказательство Золотого Ключа занимает десяток строк и куда проще и изящнее, чем доказательство, которое я извлек из своих учебников. Поэтому я заменил первоначально выбранное доказательство эйлеровым. Доказательство, приведенное в разделе iii этой главы, по сути и есть эйлерово доказательство. Я знаю, что это писательский штамп, но он от этого не перестает быть верным: нет ничего лучше, чем обратиться к первоисточнику.

После того как мы увидели, что же собой представляет Золотой Ключ, пришло время готовиться к тому, чтобы его повернуть. Для этого понадобится вспомнить некоторое количество математики, включая кусочек дифференциального и интегрального исчислений. В оставшейся части данной главы я приведу все, что нужно знать из дифференциального и интегрального исчисления, чтобы понять Гипотезу Римана и оценить ее значение. А затем, обратив необходимость в удобство, я воспользуюсь этими сведениями, чтобы представить улучшенный вариант ТРПЧ — вариант, имеющий более непосредственное отношение к работе Римана.

Обучение дифференциальному и интегральному исчислению традиционно начинается с графика. График, с которого мы начнем, — тот же, что и изображение логарифмической функции в главе 5.iii; теперь он воспроизведен на рисунке 7.1. Представьте себе, что вы — очень маленький (бесконечно малый, если получится представить) гомункулус, взбирающийся вверх по графику логарифмической функции слева направо. Если вы начали свое путешествие из какой-го точки, находящейся недалеко от нуля, то сначала путь вашего восхождения очень крутой и вам требуется скалолазное снаряжение. Но по мере продвижения ландшафт становится более пологим. К тому времени, как вы достигнете аргументов в районе 10, вы можете распрямиться и просто шагать, как на прогулке.

Рисунок 7.1. Функция ln x.

Степень крутизны кривой изменяется от точки к точке. Но в каждой точке наклон кривой имеет определенное численное значение — точно так же, как ваша машина, когда вы разгоняетесь, имеет определенную скорость в каждый данный момент времени — скорость, которую вы фиксируете, бросая взгляд на спидометр. Через мгновение она может слегка измениться, но в каждый определенный момент времени она имеет некоторое определенное значение. Точно так же для любого аргумента в своей области определения (которую составляют все числа, большие нуля) логарифмическая функция имеет некоторый определенный наклон.

Как нам измерить этот наклон и что это такое? Сначала давайте определим «наклон» наклонной прямой линии. Это подъем по вертикали, деленный на смещение по горизонтали. Если, пройдя по горизонтали расстояние в 5 единиц, вы поднялись на 2 единицы вверх, то, значит, наклон равен двум пятым, т.е. 0,4 (рис. 7.2).

Рисунок 7.2. Наклон.

Чтобы найти наклон некоторой кривой в произвольной точке на ней, построим прямую линию, касающуюся кривой в выбранной точке. Ясно, что имеется ровно одна такая прямая. Если я слегка ее «покачаю» (можно представлять себе, что прямая — это стальной стержень, а кривая — стальной обод), то точка касания с кривой слегка сместится. Наклон кривой в данной точке — это наклон этой единственной касательной в этой точке. Для ln x наклон при аргументе x = 10, если вы его измерите, равен 1/10. Наклон при аргументе 20, конечно, меньше этого; измерение дает 1/20. Наклон при аргументе 5 больше — и измерение дает 1/5. На самом деле еще одно поразительное свойство логарифмической функции состоит в том, что при любом аргументе x ее наклон равен 1/x — числу, обратному x (обозначаемому еще как x−1).

Если вы когда-нибудь слушали лекции по дифференциальному исчислению, то все это вам хорошо знакомо. Дифференциальное исчисление в действительности начинается с такого утверждения: из любой функции f можно произвести другую функцию g, которая выражает наклон функции f при любом ее аргументе. Если f — это ln x, то g — это 1/x. Произведенная таким образом функция называется, как ни странно, производной функции f. Например, 1/x — это производная функции ln x. Если вам дали какую-то функцию f, то процесс нахождения ее производной называется дифференцированием.

Дифференцирование — действие, которое подчиняется некоторым простым правилам. Например, оно прозрачно для нескольких основных арифметических операций. Если производная функции f — это g, то производная функции 7f — это 7g. (Так что производная от 7∙ln x равна 7/x.) Производная суммы f + g — это производная функции f плюс производная функции g. Правда, все не совсем так для умножения: производная произведения f и g не равна произведению производной функции f на производную функции g.[58]

Единственные функции, кроме логарифма, производные которых нам понадобятся в этой книге, — это простые степенные функции xN. Приведем без доказательства тот факт, что для любого числа N производная функции xN есть функция NxN−1. Таблица 7.1 дает некоторые производные степенных функций.