Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Страница 25

Начинается все с «решета Эратосфена». Золотой Ключ по существу представляет собой способ, которым Леонард Эйлер сумел выразить решето Эратосфена в терминах анализа.

Эратосфен из Кирены (в настоящее время — городок Шаххат в Ливии) был одним из библиотекарей великой александрийской библиотеки. Около 230 года до P.X. — примерно через 70 лет после Эвклида — он разработал свой знаменитый метод решета для нахождения простых чисел.

Работает этот метод следующим образом. Сначала выпишем все целые числа, начиная с 2. Разумеется, нельзя выписать их все, поэтому остановимся на сотне с небольшим.

  2   3   4   5   6   7   8   9  10  11

 12  13  14  15  16  17  18  19  20  21

 22  23  24  25  26  27  28  29  30  31

 32  33  34  35  36  37  38  39  40  41

 42  43  44  45  46  47  48  49  50  51

 52  53  54  55  56  57  58  59  60  61

 62  63  64  65  66  67  68  69  70  71

 72  73  74  75  76  77  78  79  80  81

 82  83  84  85  86  87  88  89  90  91

 92  93  94  95  96  97  98  99 100 101

102 103 104 105 106 107 108 109 110 111

Теперь, начиная с 2 и сохраняя при этом саму двойку в неприкосновенности, уберем каждое второе число после 2.

  2   3   .   5   .   7   .   9   .  11

  .  13   .  15   .  17   .  19   .  21

  .  23   .  25   .  27   .  29   .  31

  .  33   .  35   .  37   .  39   .  41

  .  43   .  45   .  47   .  49   .  51

  .  53   .  55   .  57   .  59   .  61

  .  63   .  65   .  67   .  69   .  71

  .  73   .  75   .  77   .  79   .  81

  .  83   .  85   .  87   .  89   .  91

  .  93   .  95   .  97   .  99   . 101

  . 103   . 105   . 107   . 109   . 111

Первое выжившее число после двойки — это 3. Сохраняя теперь 3 в неприкосновенности, удалим каждое третье число после 3, если оно еще не удалено. Получим

  2   3   .   5   .   7   .   .   .  11

  .  13   .   .   .  17   .  19   .   .

  .  23   .  25   .   .   .  29   .  31

  .   .   .  35   .  37   .   .   .  41

  .  43   .   .   .  47   .  49   .   .

  .  53   .  55   .   .   .  59   .  61

  .   .   .  65   .  67   .   .   .  71

  .  73   .   .   .  77   .  79   .   .

  .  83   .  85   .   .   .  89   .  91

  .   .   .  95   .  97   .   .   . 101

  . 103   .   .   . 107   . 109   . 111

Первое выжившее число после тройки — это 5. Сохраняя теперь 5 в неприкосновенности, удалим каждое пятое число после 5, если оно еще не удалено. Получим

  2   3   .   5   .   7   .   .   .  11

  .  13   .   .   .  17   .  19   .   .

  .  23   .   .   .   .   .  29   .  31

  .   .   .   .   .  37   .   .   .  41

  .  43   .   .   .  47   .  49   .   .

  .  53   .   .   .   .   .  59   .  61

  .   .   .   .   .  67   .   .   .  71

  .  73   .   .   .  77   .  79   .   .

  .  83   .   .   .   .   .  89   .  91

  .   .   .   .   .  97   .   .   . 101

  . 103   .   .   . 107   . 109   . 111

Первое выжившее число — это 7. Следующий шаг состоит в том, чтобы, сохраняя теперь 7 в неприкосновенности, удалить каждое седьмое число после 7, если его еще не удалили до этого. Первое число, которое выживает после этого, — 11. И так далее.

Если проводить эту процедуру бесконечно, то оставшимися числами будут все простые числа. В этом и состоит «решето Эратосфена». Если остановиться прямо перед тем, как пришло время обрабатывать простое число p — другими словами, прямо перед тем, как надо будет удалять каждое p-е число, если оно еще не было удалено, — то мы получим все простые числа, меньшие p2. Поскольку выше мы остановились прямо перед обработкой семерки, у нас имеются все простые до 72, т.е. 49. После этого числа остаются и не простые числа, такие как 77.

Решето Эратосфена — вещь достаточно простая. И ему уже 2230 лет. Как же оно перенесет нас в середину XIX века, к глубоким результатам в теории функций? А вот как.

Я собираюсь повторить только что проведенную процедуру. (Именно по этой причине мы разобрали ее столь тщательно.) Но на этот раз я применю ее к дзета-функции Римана, которую мы определили в конце главы 5. Дзета-функция от некоторого аргумента s, большего единицы, записывается как

Стоит заметить, что такая форма записи предполагает выписывание всех положительных целых чисел — в точности как в начале наших действий с решетом Эратосфена (с тем только исключением, что на сей раз включена 1).

Сделаем такое: умножим обе части равенства на . Получим

где мы пользовались 7-м правилом действий со степенями (которое говорит, например, что 2s умножить на 7s равно 14s). А теперь вычтем второе из этих выражений из первого. В одну из левых частей входит ζ(s) с множителем 1, а в другую — та же ζ(s) с множителем . Вычитая, получаем

Вычитание устранило из бесконечной суммы все члены с четными числами. Остались только члены, в которые входят нечетные числа.

Вспоминая решето Эратосфена, умножим теперь обе части порченного равенства на , руководствуясь тем, что 3 — это первое выжившее число в правой части:

Теперь вычтем это выражение из того, которое мы получили ранее. При вычитании левых частей будем рассматривать  как неделимую штуку, — просто как некоторое число (каковым оно, конечно, и является при любом заданном s). Вся эта штука входит в левую часть одного выражения с множителем 1, а в левую часть другого — с множителем . Вычитая, получаем

Из бесконечной суммы исчезли все члены, содержащие числа, кратные тройке! Первое выжившее число — это теперь 5.

Умножив теперь обе части полученной формулы на , будем иметь

А теперь, вычитая это равенство из предыдущего и рассматривая на этот раз  как неделимую конструкцию, видим, что в левую часть одного выражения она входит с множителем 1, а в левую часть другого — с множителем . Вычитание дает

Все слагаемые с числами, кратными 5, исчезли при вычитании, и первое выжившее число в правой части — это 7.

Замечаете сходство с решетом Эратосфена? Но вы должны заметить и отличие. При работе с исходным решетом мы оставляли сами простые числа в неприкосновенности, удаляя только их кратные — числа, полученные из них умножением на 2, 3, 4, …. Здесь же при вычитании мы устраняем из правой части как само простое число, так и все его кратные.

Если продолжать описанную процедуру до достаточно большого простого числа, скажем, до 997, мы получим

Теперь заметим, что если s — любое число, большее единицы, то правая часть этой формулы совсем ненамного больше чем просто 1. Например, при s = 3 правая часть этой формулы равна 1,00000006731036081534… Поэтому выглядит довольно правдоподобным предположение, что если продолжать указанный процесс до бесконечности, то для любого числа s большего 1 получится следующий результат (7.1):

где в левой части содержится ровно одно выражение в скобках для каждого простого числа, причем эти скобки продолжаются налево без конца. Теперь поделим обе части полученного выражения последовательно на каждую из этих скобок (7.2):

Это — Золотой Ключ. Чтобы он предстал перед нами во всей красе, давайте немного его почистим. Дроби с дробными знаменателями нравятся мне ничуть не больше, чем вам, а кроме того, есть еще полезные математические приемы, которые позволят нам сэкономить на наборе формул.

Прежде всего вспомним 5-е правило действий со степенями: оно говорит, что a−N есть 1/aN и a−1 есть 1/a. Поэтому выражение (7.2) можно записать поаккуратнее:

ζ(s) = (1 − 2−s)−1×(1 − 3−s)−1×(1 − 5−s)−1×(1 − 7−s)−1×(1 − 11−s)−1×….

Есть даже еще лучший способ. Вспомним про обозначение ∑, введенное в главе 5.viii. Когда мы складываем компанию слагаемых единообразной структуры, их сумму можно записать коротко, используя знак ∑; у этого имеется эквивалент для умножения, когда сомножители имеют единообразную структуру: тогда используется знак ∏. Это заглавная греческая буква «пи», используемая в этом качестве из-за слова «product» (произведение). Используя знак ∏, выражение (7.2) можно переписать таким образом: