Аурика Луковкина - Высшая математика. Шпаргалка Страница 3

Уравнение плоскости, проходящей через две точки М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2) перпендикулярно к плоскости, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0:

Уравнение плоскости, проходящей через точку М1 (х1, у1, z1) перпендикулярно двум непараллельным плоскостям А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и А2х + В2у + С2z + D2 = 0, имеет вид:

Имеем три плоскости, заданные общими уравнениями:

6. Прямая в пространстве

Всякая прямая определяется в пространстве системой двух уравнений

Канонические (симметричные) уравнения прямой: (x – x0) / m = (y – y0) / p = (z – z0) / q, прямая проходит через точку M0 (x0, y0, z0). Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями:

Условие параллельности двух прямых: m1 / m2 = p1 / p2 = q1 / q2. Условие перпендикулярности двух прямых: m1m2 + p1p2 + q1q2 = 0.

Пусть имеются прямая (x – x0) / m = (y – y0) / p = (z – z0) / q и плоскость Ах + Ву + Сz + D = 0. Условие параллельности прямой и плоскости: Am + Bp + Cq = 0. Условие перпендикулярности прямой и плоскости: A / m = B / p = C / q. Условие принадлежности прямой плоскости:

Если прямая задана параметрически x = x0 + mt, y = y0 + pt, z = z0 + qt, то координаты точки пересечения этой прямой и плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 определяются по параметрическим уравнениям прямой при подстановке значений t, определенных (Am + Bp + Cq)t + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Уравнение прямой, проходящей через точки М1 (х1, у1, z1) и М2 (х2, у2, z2):(х – х1) / (х2 – х1) = (у – у1) / (у2 – у1) = (z – z1) / (z2 – z1). Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0, у0, z0) перпендикулярно прямой (x – x1) / m = (y – y1) / p = (z – z1) / q, имеет вид: m(x – x0) + p(y – y0) + q(z – z0) = 0. Уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, у0, z0) перпендикулярно плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, имеет вид: (х – х0) / А = (у – у0) / В = (z – z0) / C. Уравнение плоскости, проходящей через М0(х0, у0, z0) и (x – x1) / m = (y – y1) / p = (z – z1) / q, не проходящую через М0:

Уравнение плоскости, проходящей через М0 (х0, у0, z0) и параллельной двум прямым:

Уравнение плоскости, проходящей через (x – x1) / m1 = (y – у1) / p1 = (z – z1) / q1 и параллельной (x – x2) / m2 = (y – y2) / р2 = (z – z2) / q2 имеет вид:

Уравнение плоскости, проходящей через (x – x1) / m1 = (y – y1) / p1 = (z – z1) / q1 перпендикулярно Ах + Ву + Сz + D = 0;

7. Матрицы и действия над ними

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица вида:

или А = (aij), где i = 1, 2…, m; j = 1, 2…, n. Числа aij – называются элементами матрицы. Если m = 1, а n > 1, то матрица является матрицей–строкой. Если m > 1, а n = 1, то матрица является матрицей–столбцом. Если m = n, то матрица называется квадратной, а число ее строк (или столбцов) называется порядком матрицы.

Две матрицы А и В называются равными, если их размер одинаков и aij = bij. Нулевая матрица – это матрица, у которой все элементы равны нулю.

Единичной матрицей называется квадратная матрица:

Матрицей, транспонированной к матрице А размерности m х n называется матрица Ат размерности n х m, полученная из матрицы А если ее строки записать в столбцы а столбцы – строки.

Матрицы одинакового размера (однотипные) можно складывать, вычитать, перемножать и умножать на число.

Суммой (разностью) двух однотипных матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме или разности cij = aij ± bij. При сложении справедливы:

А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С), А + 0 = А.

Произведением матрицы А на число р называется матрица, элементы которой равны рaij.

Справедливы свойства:

α(βA) = (αβ)А;

(А + В)α = αА + αВ;

(α + β)А = αА + βА.

Произведением двух квадратных матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i–ой строки и k–го столбца, является суммой парных произведений элементов i–ой строки первой матрицы на элемент k–ой строки второй матрицы С = АВ. То же правило распространяется на умножение прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы–множимого равно числу строк матрицы–множителя.

Матрицы, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими.

Справедливы свойства:

1) ЕА = АЕ = А;

2) А(ВС) = (АВ)С;

3) a(АВ) = (aА)В = А(aВ);

4) (А1 + А2)В = А1В + А2В, А(В1 + В2) = АВ1 + АВ2;

5) А0 = 0А = 0;

6) (АВ)т = АтВт.

При умножении двух ненулевых матриц может получиться нулевая матрица.

8. Определители. Обратная матрица. Вырожденная и невырожденная матрицы. Система линейных уравнений

Определителем второго порядка, соответствующим матрице , называется число, равное

Свойства определителя:

1) величина определителя не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами или если к элементам какой–либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и тоже число;

2) определитель поменяет знак при перемене мест его строк или столбцов;