Аурика Луковкина - Высшая математика. Шпаргалка Страница 4

Определителем второго порядка, соответствующим матрице , называется число, равное

Свойства определителя:

1) величина определителя не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами или если к элементам какой–либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и тоже число;

2) определитель поменяет знак при перемене мест его строк или столбцов;

3) определитель будет равен нулю, если элементы какого–либо столбца (или строки) равны нулю или элементы двух строк (или столбцов) соответственно равны.

Минором Mik элемента aik определителя IАI называется определитель полученный из А вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит этот элемент.

Алгебраическим дополнением Aik элемента a определителя |A| называется его минор, взятый со знаком (–1)i+k, A = (–1)i+kMik.

Определителем n–порядка, соответствующим квадратной матрице n–го порядка, называется число, равное сумме парных произведений элементов какой–либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Теорема. Если А и В – квадратные матрицы одного порядка с определителями |A| и |B|, то определитель матрицы С = АВ равен: |C | = |A| |B|.

Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется матрица А–1, которая удовлетворяет условиям АА–1 = А–1А = Е. Матрица А называется вырожденной, если ее определитель |A| равен нулю.

Теорема. Матрица

где Aik – алгебраическое дополнение элемента aik невырожденной матрицы А, является обратной для А.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

9. Числовые последовательности, арифметические действия над ними. Предел последовательности

Если каждому значению n из натурального ряда чисел – 1, 2, n – ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число а, то множество занумерованных вещественных чисел – а1, а2, аn – называется числовой последовательностью (последовательностью), числа аn называются элементами или членами последовательности.

Числовая последовательность:

{an},an = f(n),

где n = 1, 2, 3… – номер члена последовательности.

Cпособы задания последовательностей:

1) аналитический (с помощью формулы n–члена);

2) рекуррентный (путем задания первого члена или нескольких членов и формулы для определения любого члена по известным членам);

3) словесный.

Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {xn} и {yn} называются соответственно следующие последовательности: {xn + yn}, {xn – yn}, {xn × yn}, {xn / yn}, в случае частного yn ≠ 0. Если в нуль обращается лишь конечное число членов последовательности знаменателя, то частное определяется с номера, отличного от нуля члена последовательности.

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняется условие: an+1 > an (an+1 < an). Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется условие: an+1 ≤ an (an+1 ≥ an).

Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.

Последовательность {an} называется сходящейся, если существует такое число А, что для любого положительного числа ε > 0 найдется такой номер N, что при всех n > N |an – A| < ε. Если последовательность не сходится, то она называется расходящейся.

Число А называется пределом последовательности {an}, если для ε > 0 существует такое натуральное число N, что при всех n > N |an– A| < ε. Обозначение предела последовательности: .

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Для подпоследовательностей справедливо:

1) если последовательность сходится к пределу А, то и ее подпоследовательность сходится к пределу А;

2) если все подпоследовательности некоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу и к нему же сходится исходная последовательность.

Теорема. Предел суммы (разности), произведения и частного равен сумме (разности), произведению и частному пределов, т. е., если , то:

, где с – постоянная;

10. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Последовательность {аn} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (m) такое, что для любого n an ≤ M (an ≥ m). Число М (m) называется верхней (нижней) границей последовательности {an}.

Последовательность {аn} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Теорема. Последовательность {аn} ограничена тогда и только тогда, когда существует число r > 0 такое, что |an| < r для всех n.

Теорема. Свойства ограниченности последовательности сверху, снизу и с двух сторон не нарушатся при отбрасывании (добавлении) конечного числа членов последовательности.

Теорема. Сумма двух ограниченных последовательностей есть ограниченная последовательность.

Последовательность {аn} называется бесконечно малой, если для любого положительного ε существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |an| < ε.

Последовательность {аn} называется бесконечно большой, если для любого положительного Р существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |an| < Р.

Предел бесконечно большой последовательности при n > ∞ равен ∞.

Бесконечно большая последовательность не ограничена и, следовательно, расходится.

Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей. Для того чтобы последовательность {аn} была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {bn} bn = 1 / аn была бесконечно малой.

Теорема. Если {аn} – бесконечно большая последовательность, а {bn} – сходящаяся последовательность, не являющаяся бесконечно малой, то их произведение есть бесконечно большая последовательность.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) предел бесконечно малой последовательности равен нулю: ;

2) стационарная последовательность с, с, …, с, … является бесконечно малой тогда, когда с = 0;

3) свойство последовательности быть бесконечно малой не нарушится, если отбросить (прибавить) конечное число членов;

4) пусть {bn} – бесконечно малая последовательность и для всех n справедливо аn ≤ bn, тогда последовательность {аn} тоже является бесконечно малой;