Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок Страница 48

331. На рисунке жирной ступенчатой линией показано, как следует разрезать флаг всего лишь на две части, чтобы, передвинув нижнюю часть на одну ступеньку вверх, получить флаг с десятью полосами.

332. Прямоугольную доску можно разрезать методом лестницы на две части, из которых получится квадрат в том случае, если длины ее сторон совпадают с квадратами двух последовательных целых чисел. Так, в приведенной ниже таблице стороны соответственно равны 12 (или 1) и 22 (4), или 22 (4) и 32 (9), или 32 (9) и 42 (или 16) и т. д. Таблицу можно продолжать неограниченно.

На приведенном здесь рисунке случай I является простейшим — размер доски 1 × 4; в случае II доска имеет размер 4 × 9 и в случае III — 16 × 25. Можно заметить, что число ступенек увеличивается по определенному закону, а их размеры легко найти с помощью таблицы. Например, для доски 16 × 25, поскольку сторона квадрата равна 20, ступенька имеет высоту 20 - 16 = 4 и ширину 25 - 20 = 5.

Так как стороны выражаются квадратами, а произведение двух квадратов в свою очередь представляет собою квадрат, то площадь прямоугольника также выражается квадратом. Но отсюда вовсе не следует, что, например, доска размером 9 × 25 окажется подходящей, потому что ее площадь равна площади квадрата со стороной 15. На нашем рисунке в случае IV показан наилучший вариант для такой доски, но при этом доску приходится резать на три, а не на две части, как требуется. Это происходит потому, что ни число 9 не является кратным приросту высоты (6), ни число 25 — кратным убыванию длины (10). Следовательно, нужных ступенек здесь быть не может.

Конечно, подойдет любое кратное сторонам. Так, решение для случая 8 × 18 аналогично решению для случая 4 × 9 и содержит две ступеньки, при этом все размеры просто удваиваются. Доска 4 × 6¼ также подойдет нам, поскольку отношение ее сторон совпадает с отношением сторон у доски 16 × 25. Высота ступеньки будет равна 1, а ширина 1¼. В первом случае мы произвели сокращение, как у дроби, а во втором умножили все на 4, чтобы избавиться от дробей. Далее мы заметим, что и 4 × 9, и 16 × 25 являются квадратами последовательных целых чисел; следовательно, решение существует.

333. Несмотря на предупреждение, читатель мог предположить, что решением головоломки служит жирная зигзагообразная линия на нашем рисунке. Однако это не так, поскольку получившиеся части не совпадают по форме и размерам. Разрез следовало бы вести не по участку C, а по пунктирной линии D, но там отсутствует шов. На самом деле следует вырезать часть, которая заштрихована. Лоскут в левом верхнем углу показан для ориентации на исходном рисунке.

334. На рисунке показано, как следует разрезать линолеум на две части A и B, чтобы составить из них квадратную доску.

335. На рисунке слева показано, как можно покрыть квадрат 29 квадратными плитками, сохранив при этом 17 из них в целости и разрезав остальные 12 надвое. Части одной плитки обозначены одинаковыми цифрами.

336. По-видимому, существует лишь одно решение этой головоломки, которое представлено на рисунке справа. Наименьшее число частей равно 11; они должны иметь указанные размеры. Три наибольшие части не могут располагаться иначе, а группу из восьми квадратов можно «отразить».

[По поводу общей задачи, так и не решенной до сих пор, о делении квадратного куска решетки любого размера вдоль ее линий на минимальное число меньших квадратов, см. гл. 15 книги М. Гарднера «Математические новеллы» (М., изд-во «Мир», 1974).

Насколько мне известно, соответствующая задача для треугольной решетки еще не рассматривалась. — М. Г.]

337. На рисунке показано, как разрезать квадрат на 4 части одинакового размера и одной формы так, чтобы в каждой из частей содержалось по звездочке и по крестику,

338. Если вырезать греческий крест меньших размеров (см. случай 1), то из четырех частей A, B, C и D можно сложить квадрат, показанный в случае 2.

339. Отрежьте верхнюю и нижнюю части креста и поместите их в положения A и B (случай I), а оставшуюся большую часть разрежьте на 3 части так, чтобы из полученных 5 частей сложить прямоугольник, изображенный в случае II. Можно сказать, что этот прямоугольник составлен из 15 квадратов — по 5 квадратов на каждый новый крест. Остальные разрезы провести нетрудно. Из частей 2, 5, 8, 9 с очевидностью получается один крест; из частей 13, 6, 10, 7 и 11 — второй (случай III), а из 1, 3, 4, 12 получается третий крест (случай IV ). Площадь каждого конца малого креста составляет ⅓ площади любого конца большого креста.

(Число частей можно понизить до 12. — М. Г.]

340. Как следует разрезать данную фигуру на 4 части, чтобы из них получился квадрат, показано на рисунке.

341. В случае A изображен круг, разделенный на 4 части, образующие «великую Монаду», а в случае B показано, как из двух таких частей можно составить один табурет (второй табурет получается аналогично из частей 3 и 4). Правда, отверстия для руки располагаются поперек, а не вдоль овалов, тем не менее все условия задачи выполнены.

342. Разрежьте один из треугольников пополам и сложите части вместе, как показано в случае 1. Затем проведите разрез вдоль пунктирных линий так, чтобы и ab, и cd равнялись стороне искомого квадрата. Затем сложите полученные части вместе, как показано в случае 2, сдвинув F и C влево вверх и переместив маленький кусочек D из одного угла в другой.

[Существует решение данной задачи, содержащее только 5 частей. — М. Г.]

343. На рисунке показано, как можно разрезать символ масти пик на три части, чтобы получить символ червовой масти.

344. Вы видите на рисунке, как следует расположить 4 части, чтобы одна клетка исчезла (на первый взгляд). Объяснение этого феномена состоит в том, что края частей, расположенные вдоль жирной линии, не совпадают по направлению. Если вы расположите внешние края данной фигуры точно под прямым углом, то некоторые части перекроются и площадь перекрытой поверхности окажется равной площади одной клетки. Вот в чем и состоит простое объяснение нашего парадокса.

345. Прежде всего проведите разрез AB. Затем сложите полученные три части вместе так, чтобы при следующем взмахе ножниц вы могли провести одновременно разрезы CD, EF и GH (см. рисунок справа).

346. Восемь кусков фанеры можно расположить симметрично, чтобы они образовали квадрат таким образом, как показано на рисунке.

347. Сложите два квадрата вместе таким образом, чтобы линии AB и CD были прямыми. Затем найдите центр большего квадрата и проведите через него прямую EF, параллельную AD. Если вы теперь проведете через тот же центр перпендикулярно EF прямую GH, то больший квадрат разобьется на 4 части, из которых вместе с меньшим квадратом можно будет составить новый квадрат.

[Это решение было впервые найдено английским математиком-любителем Генри Перигейлом, который опубликовал его в 1873 г. Оно представляет собой одно из лучших доказательств теоремы Пифагора с помощью разрезания. См. гл. 38 книги М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения» (М., изд-во «Мир», 1971). — М. Г.].

348. На рисунке показано, как можно разрезать фанеру. Квадраты A и B вырезаются целиком (1), а из четырех частей C, D, E и F можно составить третий квадрат (2).

[Существуют решения данной задачи, в которых участвует только пять частей. Не сможет ли читатель отыскать решение из пяти частей, при котором общая длина разрезов составляет 16 единиц? — М. Г.]

349. Вырежьте кусок A и, повернув его на четверть оборота по часовой стрелке, соедините с куском B. При этом получится правильная шахматная доска.

350. На рисунке показано, как составить квадрат из 20 кусочков.