Аурика Луковкина - Высшая математика. Шпаргалка Страница 6

Ряд un(x) называется функциональным, если его члены являются функциями действительной переменной х.

Областью сходимости функционального ряда называется совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд сходится. Если функциональный ряд сходится при х = х0, то х0 называется точкой сходимости. Если ряд сходится в каждой точке некоторого множества, то говорят, что ряд сходится на этом множестве.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве М к функции S(x), если для всякого положительного ε найдется такое число N, что для всех n > N и для всех х, принадлежащих множеству М, справедливо неравенство:

Теорема. Если члены ряда un(x) – непрерывные функции и ряд на множестве М сходится равномерно, то и S(x) = un(x) является непрерывной функцией.

14. Степенные ряды. Тригонометрический ряд. Ряды Фурье

Степенным рядом называется функциональный ряд вида а0 + а1(х – х0) + а2(х – х0)2 +…+ аn(x – x0)n +… = ak(x – x0)k. Числа ai (i = 0, 1, 2…) называются коэффициентами ряда. Число R называется радиусом сходимости.

Свойства степенных рядов.

Теорема 1. Если степенной ряд ak(x – x0)k имеет радиус сходимости R, то в любом круге комплексной плоскости (или на любом отрезке вещественной оси) вида |x – x0| < r, r < R он равномерно сходится.

Теорема 2. Если для степенного ряда ak (x – x0)k существует предел , то он равен радиусу сходимости данного ряда, т. е. L = R.

Следствие.

1. На множестве {x| |x – x0| < r}, r < R сумма степенного ряда является непрерывной функцией.

Конец ознакомительного фрагмента.