Ричард Фейнман - 5. Электричество и магнетизм Страница 12

Если мы теперь сделаем еще одно допущение, сразу воз­никнет одно очень интересное уравнение. Допустим, что тем­пература материала пропорциональна содержанию тепла в еди­нице объема, т. е. что у материала есть определенная удельная теплоемкость. Когда это допущение верно (а так бывает часто), мы можем писать

или

(3.27)

Скорость изменения количества тепла пропорциональна ско­рости изменения температуры. Коэффициент пропорциональ­ности cvздесь — удельная теплоемкость на единицу объема материала. Подставляя (3.27) в (3.26), получаем

(3.28)

Мы обнаружили, что быстрота изменения со временем темпера­туры Т в каждой точке пропорциональна лапласиану от Т, т. е. вторым производным от пространственного распределения тем­ператур. Мы имеем дифференциальное уравнение — в перемен­ных х, у, z и t — для температуры Т.

Дифференциальное уравнение (3.28) называется уравнением диффузии тепла, или уравнением теплопроводности. Часто его пишут в виде

(3.29)

где D — постоянная. Она равна x/cv.

Уравнение диффузии появляется во многих физических задачах: о диффузии газов, диффузии нейтронов и других. Мы уже обсуждали физику некоторых таких явлений в вып. 4, гл. 43. Теперь перед вами полное уравнение, описывающее диффузию в самом общем виде. Немного позже мы зай­мемся решением уравнения диффузии, чтобы посмотреть, как распределяется температура в некоторых случаях. А сейчас вернемся к рассмотрению других теорем о векторных полях.

§ 5. Циркуляция векторного поля

Мы хотим теперь рассмотреть ротор поля примерно так же, как рассматривали дивергенцию. Мы вывели теорему Гаусса, вычисляя интеграл по поверхности, хотя с самого начала отнюдь не было ясно, что мы будем иметь дело с дивергенцией. Откуда же можно было знать, что для ее получения надо интегрировать по поверхности? Этот результат вовсе не был очевиден. И столь же неоправданно мы сейчас вычислим другую характе­ристику поля и покажем, что она связана с ротором. На этот раз мы подсчитаем так называемую циркуляцию векторного поля. Если С — произвольное векторное поле, мы возьмем его составляющую вдоль кривой линии и проинтегрируем эту составляющую по замкнутому контуру. Интеграл называется циркуляцией векторного поля по контуру. Мы уже раньше в этой главе рассматривали криволинейный интеграл от Сy. Сейчас мы то же самое проделываем с произвольным векторным полем С.

Пусть Г — произвольный замкнутый контур в пространстве (воображаемый, разумеется). Пример мы видим на фиг. 3.7. Криволинейный интеграл от касательной составляющей С по контуру записывается в виде

(3.30)

Фиг. 3.7. Циркуляция вектора С но кривой Г есть криволиней­ный интеграл от Сt (касатель­ной составляющей С).

Фиг. 3.8. Циркуляция по всему контуру есть сумма циркуляции по двум контурам: Г1=Гa+Гab и Г2=Гь+ГaЬ.

Заметьте, что интеграл берется по всему замкнутому пути, а не от одной точки до другой, как это делалось раньше. Кру­жочек на знаке интеграла должен нам напоминать об этом. Такой интеграл называется циркуляцией векторного поля по кривой Г. Название связано с тем, что первоначально так рас­считывали циркуляцию жидкости. Но название это, как и по­ток, было распространено на любые поля, даже такие, в которых «циркулировать» нечему.

Забавляясь той же игрой, как с потоком, мы можем пока­зать, что циркуляция вдоль контура есть сумма циркуляции вдоль двух меньших контуров. Положим, что, соединив две точки (1) и (2) первоначальной кривой с помощью некоторой линии, мы разбили кривую на два контура Г1 и Г2 (фиг. 3.8). Контур Г1 состоит из Гa — части первоначальной кривой слева от (1) и (2) и «соединения» Гab. Контур Г2 состоит из остатка первоначальной кривой плюс то же соединение.

Циркуляция вдоль Г1 есть сумма интеграла вдоль Га и вдоль ГаЬ. Точно так же и циркуляция вдоль Г2 есть сумма двух ча­стей, одной вдоль Гb, другой — вдоль Гab. Интеграл вдоль Гab для кривой Г2 имеет знак, противоположный тому знаку, кото­рый он имел для кривой Г1, потому что направления обхода противоположны (в обоих криволинейных интегралах направ­ления поворота нужно брать одни и те же).

Повторяя прежние аргументы, мы можем убедиться, что сумма двух циркуляции даст как раз криволинейный интеграл вдоль первоначальной кривой Г. Интегралы по Гab сократятся. Циркуляция по одной части плюс циркуляция вдоль другой равняется циркуляции вдоль внешней линии. Этот процесс раз­резания большого контура на меньшие можно продолжить. При сложении циркуляции по меньшим контурам смежные части будут сокращаться, так что сумма их сведется к цирку­ляции вдоль единственного первоначального контура.

Теперь предположим, что первоначальный контур — это граница некоторой поверхности. Существует бесконечное мно­жество поверхностей, границей которых служит все тот же первоначальный замкнутый контур. Наши результаты не зави­сят, однако, от выбора этих поверхностей. Сперва мы разобьем наш первоначальный контур на множество малых контуров, лежащих на выбранной поверхности (фиг. 3.9).

Фиг. 3.9. Некоторая поверх­ность, ограниченная конту­ром Г.

Поверхность разделена на множе­ство маленьких участков, каждый примерно в форме квадрата. Цир­куляция по Г есть сумма циркуля­ции по всем маленьким контурам.

Какой бы ни была форма поверхности, но если малые контуры сделать до­статочно малыми, всегда можно будет считать каждый из них замыкающим достаточно плоскую поверхность. Кроме того, каждый из них можно сделать очень похожим на квадрат. И циркуляцию вокруг большого контура Г можно найти, под­считав циркуляции по всем квадратикам и сложив их.

§ 6. Циркуляция по квадрату; теорема Стокса

Как нам найти циркуляцию по каждому квадратику? Все зависит от того, как квадрат ориентирован в пространстве. Если ориентация его подобрана удачно (к примеру, он распо­ложен в одной из координатных плоскостей), то расчет сде­лать легко. Так как пока мы не делали никаких предположений об ориентации осей координат, мы вправе выбрать их так, чтобы тот квадратик, на котором мы сосредоточили свое вни­мание, оказался в плоскости ху (фиг. 3.10). Если результат расчета будет выражен в векторной записи, то можно говорить, что он не зависит от специальной ориентации плоскости.

Фиг. 3.10. Вычисление цирку­ляции вектора С по маленькому квадратику.

Мы хотим теперь найти циркуляцию поля С по нашему квад­ратику. Криволинейное интегрирование легко проделать, если квадратик сделать таким маленьким, чтобы вектор С на про­тяжении одной стороны квадрата менялся очень мало. (Это предположение выполняется тем лучше, чем меньше квадратик, так что на самом деле речь идет о бесконечно малых квадра­тиках.) Отправившись от точки (х, у) — в левом нижнем углу фигуры,— мы обойдем весь квадрат в направлении, указанном стрелками. Вдоль первой стороны, отмеченной цифрой 1, ка­сательная составляющая равна Сх(1),а расстояние равно Dx. Первая часть интеграла равна Cx(1) Dx, Вдоль второй стороны получится Су(2) Dy. Вдоль третьей мы получим -Сx(3) Dx, а вдоль четвертой -Cy(4) Dy. Знаки минус стоят потому, что нас интересует касательная составляющая в направлении об­хода. Весь криволинейный интеграл тогда равен

(3.31) Посмотрим теперь на первый и третий члены. В сумме они дают

(3.32)

Вам может показаться, что в принятом приближении эта раз­ность равна нулю. Но это только в первом приближении. Мы можем быть более точными и учесть скорость изменения Сх, тогда можно написать

(3.33)

В следующем приближении пойдут члены с (Dy)2, но ввиду того, что нас интересует в конечном счете только предел при Dy®0, то этими членами можно пренебречь. Подставляя (3.33) в (3.32), мы получаем

(3.34)

Производную при нашей точности можно брать в точке (х, у). Подобным же образом оставшиеся два члена можно написать в виде