Ричард Фейнман - 6. Электродинамика Страница 23

остается нулем, пока я не

дойду до этого t,

затем оно подскакивает на мгновение и сразу же оса­живает назад. Если вы берете интеграл от этой h, умно­женной на какую-то функ­цию F, то единственное место, в котором вы получите что-то ненулевое,— это там, где h (t) подскакивало; и у вас получится значение F в этом месте на интеграл по скачку. Сам по себе интеграл по скачку не равен нулю, но после умножения на F он должен дать нуль. Значит, функция в том месте, где был скачок, должна оказаться нулем. Но ведь скачок можно было сделать в любом месте; значит, F должна быть нулем всюду.

Мы видим, что если наш интеграл равен нулю при какой угодно h, то коэффициент при h должен обратиться в нуль. Интеграл действия достигает минимума на том пути, который будет удовлетворять такому сложному дифференциальному уравнению:

На самом деле оно не так уж сложно; вы его уже встречали прежде. Это просто F=ma. Первый член — это масса, умно­женная на ускорение; второй — это производная от потен­циальной энергии, т. е. сила.

Итак, мы показали (по крайней мере для консервативной системы), что принцип наименьшего действия приводит к пра­вильному ответу; он утверждает, что путь, "обладающий мини­мумом действия,— это путь, удовлетворяющий закону Ньютона.

Нужно сделать еще одно замечание. Я не доказал, что это минимум. Может быть, это максимум. На самом деле это и не обязательно должен быть минимум. Здесь все так же, как в «принципе кратчайшего времени», который мы обсуждали, изучая оптику. Там тоже мы сперва говорили о «кратчайшем» времени. Однако выяснилось, что бывают положения, в кото­рых это время не обязательно «кратчайшее». Фундаментальный принцип заключается в том, чтобы для любых отклонений пер­вого порядка от оптического пути изменения во времени были бы равны нулю; здесь та же самая история. Под «минимумом» мы на самом деде подразумеваем, что в первом порядке малости изменения величины S при отклонениях от пути должны быть равны нулю. И это не обязательно «минимум».

Теперь я хочу перейти к некоторым обобщениям. В первую очередь всю эту историю можно было бы проделать и в трех измерениях. Вместо простого x я тогда имел бы x, у и z как функции t, и действие выглядело бы посложнее. При трехмер­ном движении вы должны использовать полную кинетическую энергию: (m/2), умноженное на квадрат всей скорости. Иначе говоря

Кроме того, потенциальная энергия теперь является функцией x, у и z. А что можно сказать о пути? Путь есть некоторая кривая общего вида в пространстве; ее не так легко начертить, но идея остается прежней. А как обстоит дело с h? Что ж, и h имеет три компоненты. Путь можно сдвигать и по x, и по у, и по z, или во всех трех направлениях одновременно. Так что h теперь вектор. От этого сильных усложнений не получается. Раз нулю должны быть равны лишь вариации первого порядка, то можно провести расчет последовательно с тремя сдвигами. Сперва можно сдвинуть h только в направлении x и сказать, что коэффициент должен обратиться в нуль. Получится одно уравнение. Потом мы сдвинем h в направлении у и получим второе. Затем сдвинем в направлении z и получим третье. Можно все, если угодно, проделать в другом порядке. Как бы то ни было, возникает тройка уравнений. Но ведь закон Ньюто­на — это тоже три уравнения в трех измерениях, по одному для каждой компоненты. Вам предоставляется самим убедить­ся, что это все действует и в трех измерениях (работы здесь не так много). Между прочим, можно взять какую угодно систему координат, полярную, любую, и сразу получить зако­ны Ньютона применительно к этой системе, рассматривая, что получится, когда произойдет сдвиг h вдоль радиуса или по углу, и т. д.

Метод может быть обобщен и на произвольное число частиц. Если, скажем, у вас есть две частицы и между ними действуют какие-то силы и имеется взаимная потенциальная энергия, то вы просто складываете их кинетические энергии и вычитаете из суммы потенциальную энергию взаимодействия. А что вы варьируете? Пути обеих частиц. Тогда для двух частиц, движу­щихся в трех измерениях, возникает шесть уравнений. Вы мо­жете варьировать положение частицы 1 в направлении x, в направлении у и в направлении z, и то же самое проделать с частицей 2, так что существует шесть уравнений. И так и должно быть. Три уравнения определяют ускорение частицы 1 через силу, действующую на нее, а три других — ускорение частицы 2 из-за силы, действующей на нее. Следуйте всегда тем же правилам игры, и вы получите закон Ньютона для про­извольного числа частиц.

Я сказал, что мы получим закон Ньютона. Это не совсем верно, потому что в закон Ньютона входят и неконсервативные силы, например трение. Ньютон утверждал, что та равно вся­кой F. Принцип же наименьшего действия справедлив только для консервативных систем, таких, где все силы могут быть получены из потенциальной функции. Но ведь вы знаете, что на микроскопическом уровне, т. е. на самом глубинном физи­ческом уровне, неконсервативных сил не существует. Некон­сервативные силы (такие, как трение) появляются только от того, что мы пренебрегаем микроскопическими сложными эф­фектами: просто слишком много частиц приходится анализировать. Фундаментальные же законы могут быть выражены в виде принципа наименьшего действия.

Позвольте перейти к дальнейшим обобщениям. Положим, нас интересует, что будет, когда частица движется релятивист­ски. Пока мы не получили правильного релятивистского уравнения движения; F=ma верно только в нерелятивистских дви­жениях. Встает вопрос: существует ли в релятивистском случае соответствующий принцип наименьшего действия? Да, су­ществует. Формула в релятивистском случае такова:

Первая часть интеграла действия — это произведение массы покоя m0 на с2 и на интеграл от функции скорости Ц(1-v2/c2). Затем вместо того, чтобы вычитать потенциальную энергию, мы имеем интегралы от скалярного потенциала j и от вектор­ного потенциала А, умноженного на v, Конечно, здесь приняты во внимание только электромагнитные силы. Все электрические и магнитные поля выражены в терминах j и А. Такая функция действия дает полную теорию релятивистского движения от­дельной частицы в электромагнитном поле.

Конечно, вы должны понимать, что всюду, где я написал v, прежде чем делать выкладки, следует подставить dx/dt вместо vxи т. д. Кроме того, там, где я писал просто х, у, z, вы должны представить себе точки в момент t: x(t), y(t), z(t). Собственно, только после таких подстановок и замен v у вас получится фор­мула для действия релятивистской частицы. Пусть самые уме­лые из вас попытаются доказать, что эта формула для дей­ствия действительно дает правильные уравнения движения теории относительности. Позвольте лишь посоветовать для начала отбросить А, т. е. обойтись пока без магнитных полей. Тогда вы должны будете получить компоненты уравнения движения dp/dt=-qСj, где, как вы, вероятно, помните, p=mv/Ц(l-v2/с2).

Включить в рассмотрение векторный потенциал А намного труднее. Вариации тогда становятся несравненно более слож­ными. Но в конце сила оказывается равной тому, чему следует: q(E+vXB). Но позабавьтесь с этим сами.

Мне хотелось бы подчеркнуть, что в общем случае (к при­меру, в релятивистской формуле) под интегралом в действии уже не стоит разность кинетической и потенциальной энергий. Это годилось только в нерелятивистском приближении. На­пример, член m0c2Ц(1-v2/с2) — это не то, что называют кине­тической энергией. Вопрос о том, каким должно быть действие для произвольного частного случая, может быть решен после некоторого числа проб и ошибок. Это задача того же типа, что и определение, каковы должны быть уравнения движения. Вы просто должны поиграть с известными вам уравнениями и посмотреть, можно ли их написать в виде принципа наимень­шего действия.

Еще одно замечание по поводу терминологии. Ту функцию, которую интегрируют по времени, чтобы получить действие S, называют лагранжианом ж. Это функция, зависящая только от скоростей и положений частиц. Так что принцип наименьшего действия записывается также в виде

где под xiи viподразумеваются все компоненты координат и скоростей. Если вы когда-нибудь услышите, что кто-то говорит о «лагранжиане», знайте, что речь идет о функции, применяемой для получения S. Для релятивистского движения в электро­магнитном поле