Ричард Фейнман - 5a. Электричество и магнетизм Страница 7

Когда же нам понадобится потенциал этого распределения, то брать интегралы не нужно. Мы знаем, что потенциал каждого заряженного шара —- в точках вне его— совпадает с потенциа­лом точечного заряда. А два смещенных шара — все равно, что два точечных заряда; значит, искомый потенциал и есть как раз потенциал диполя.

Фиг. 6,6. Две равномерно заряженные сферы, вложенные друг в друга и слегка смещенные, эквивалентны неоднородному распределению

поверхностного заряда.

Таким путем можно показать, что распределение зарядов на сфере радиуса а с поверхностной плотностью

создает снаружи сферы такое же поле, как и диполь с моментом

Можно также показать, что внутри сферы поле постоянно и равно

Если q — угол с положительной осью z, то электрическое поле внутри сферы направлено по отрицательной оси z. Рассмотрен­ный нами пример отнюдь не досужая выдумка составителя за­дач; он нам встретится еще в теории диэлектриков.

§ 5. Дипольное приближение для произвольного распределения

Столь же интересно и не менее важно поле диполя, возни­кающее при других обстоятельствах. Пусть у нас есть тело со сложным распределением заряда, скажем, как у молекулы воды (см. фиг. 6.2), а нас интересует только поле вдали от него. Мы покажем, что можно получить сравнительно простое выраже­ние для полей, пригодное для расстояний, много больших, чем размеры тела.

Мы можем смотреть на это тело, как на скопление точеч­ных зарядов qiв некоторой ограниченной области (фиг. 6.7). (Позже, если понадобится, мы qiзаменим на pdV.) Пускай заряд qiудален от начала координат, выбранного где-то внутри груп­пы зарядов, на расстояние di . Чему равен потенциал в точке Р, расположенной где-то на отлете, на расстоянии R, много боль­шем, чем самое большое из di,? Потенциал всего нашего скопле­ния выражается формулой

(6.21)

где ri — расстояние от Р до заряда qi(длина вектора R-di). Если расстояние от зарядов до Р (до точки наблюдения) чрез­вычайно велико, то каждое из ri можно принять за R. Каждый член в сумме станет равным qi/R, и 1IR можно будет вынести из-под знака суммы. Получится простой результат

(6.22)

где Q — суммарный заряд тела. Таким образом, мы убеди­лись, что из точек, достаточно удаленных от скопления зарядов, оно кажется просто точечным зарядом. Этот результат в общем не очень удивителен.

Но что, если положительных и отрицательных зарядов в группе окажется поровну? Суммарный заряд Q тогда будет равен нулю. Это не такой уж редкий случай; мы знаем, что большинство тел нейтрально. Нейтральна молекула воды, но заряды в ней размещаются отнюдь не в одной точке, так что, приблизившись вплотную, мы должны будем заметить какие-то признаки того, что заряды разделены. Для потенциала произвольного рас­пределения зарядов в нейтральном теле мы нуждаемся в при­ближении, лучшем, чем даваемое формулой (6.22). Уравнение (6.21) по-прежнему годится, но полагать ri=R больше нельзя. Для ri нужно выражение поточнее. В хорошем приближении ri можно считать отличающимся от R (если точка Р сильно уда­лена) на проекцию вектора d на вектор R (см. фиг. 6.7, но вы должны только представлять себе, что Р намного дальше, чем показано). Иными словами, если er — единичный вектор в нап­равлении R, то за следующее приближение к riнужно принять

(6.23)

Но нам ведь нужно не ri, а 1/ri; оно в нашем приближении (с учетом di<<R) равно

(6.24)

Подставив это в (6.21), мы увидим, что потенциал равен

(6.25)

Многоточие указывает члены высшего порядка по d/R, ко­торыми мы пренебрегли. Как и те члены, которые мы выписали, это последующие члены разложения 1/riв ряд Тэйлора в ок­рестности 1/R по степеням di/R,

Первый член в (6.25) мы уже получили; в нейтральных телах он пропадает. Второй член, как и у диполя, зависит от 1/R2. Действительно, если мы определим

(6.26)

как величину, описывающую распределения зарядов, то вто­рой член потенциала (6.25) обратится в

(6.27)

т. е. как раз в дипольный потенциал. Величина р называется дипольным моментом распределения. Это обобщение нашего прежнего определения; оно сводится к нему в частном случае точечных зарядов.

В итоге мы выяснили, что достаточно далеко от любого набора зарядов потенциал оказывается дипольным, лишь бы этот набор был в целом нейтральным. Он убывает, как 1/R2, и меняется, как cos 0, а величина его зависит от дипольного момента распределения зарядов. Именно по этой причине поля диполей и важны; сами же по себе пары точечных зарядов встре­чаются крайне редко.

У молекулы воды, например, дипольный момент довольно велик. Электрическое поле, создаваемое этим моментом, ответ­ственно за некоторые важные свойства воды. А у многих моле­кул, скажем у СO2, дипольный момент исчезает благодаря их симметрии. Для таких молекул разложение нужно проводить еще точнее, до следующих членов потенциала, убывающих как 1/R3 и называемых квадрупольным потенциалом. Эти случаи мы рассмотрим позже.

§ 6. Поля заряженных проводников

Мы покончим на этом с примерами таких физических задач, в которых распределение зарядов известно с самого начала. Такие задачи решаются без особых затруднений, в худшем слу­чае требуя нескольких интегрирований. Теперь мы обратимся

к совершенно новому типу задач — определению полей вблизи заряженных проводников.

Представим себе, что какие-то заряды, произвольные по ве­личине Q, помещены на проводнике. Теперь уже мы не можем точно сказать, где они расположатся. Они как-то растекутся по поверхности. Как же узнать, как они на ней распределятся? Распределиться они должны так, чтобы потенциал вдоль всей поверхности был одним и тем же. Если бы поверхность не была эквипотенциальной, то внутри проводника существовало бы электрическое поле и заряды вынуждены были бы двигаться до тех пор, пока поле не исчезло бы. Общую задачу такого рода можно было бы решать так. Предположим, что распределение зарядов такое-то, и рассчитаем потенциал. Если он оказывается на поверхности повсюду одинаковым, то задача решена. Если же поверхность не эквипотенциальна, то значит, мы сделали непра­вильное предположение о распределении зарядов; сделаем но­вое предположение и постараемся, чтобы оно было удачнее! Так может продолжаться без конца, разве что вы здорово набье­те руку на таких пробах.

Вопрос о том, как догадываться о распределениях, матема­тически труден. Конечно, у природы есть время решать его; заряды притягиваются и отталкиваются до тех пор, пока не уравновесятся взаимно. А когда мы пробуем решить задачу, то каждая проба занимает так много времени, что этот метод оказывается очень громоздким. Когда имеется произвольный сложный набор проводников и зарядов, задача весьма услож­няется, и в общем случае не может быть решена без специально разработанных численных методов. Такие численные расчеты в наши дни выполняются на счетных машинах, которые могут все посчитать за нас, если мы им объясним, как это сделать.

С другой стороны, имеется множество мелких практических случаев, в которых, к нашему удовольствию, удается добиться решения каким-то прямым методом, не составляя программы для машины. На наше счастье, во многих случаях с помощью того или иного фокуса можно выжать ответ из природы.

Первый такой фокус, который мы хотим вам показать, со­стоит в использовании уже известных решений задач с фиксированным расположением зарядов.

§ 7. Метод изображений

Мы определили поле двух точечных зарядов. На фиг. 6.8 показаны некоторые линии поля и эквипотенциальные поверх­ности, полученные из расчетов, приведенных в гл. 5. Рассмот­рим теперь эквипотенциальную поверхность А. Предположим, что мы изогнули тонкий лист металла так, что он в точности