Ричард Фейнман - 4a. Кинетика. Теплота. Звук Страница 8

Итак, теперь известен ответ: если взять два источника, ча­стоты которых немного различны, то в результате сложения получаются колебания с медленно пульсирующей интенсив­ностью. Иначе говоря, все сказанное здесь действительно имеет отношение к делу!

Этот результат легко получить и математически. Предположим, например, что у нас есть две волны и забудем на минуту о всех пространственных соотношениях, а просто посмотрим, что приходит в точку Р. Пусть от одного источника приходит волна cosw1t, а от другого — волна cosw2t, причем обе частоты w1 и w2 не равны в точности друг другу. Разумеется, амплитуды их тоже могут быть различными, но сначала давайте предположим, что амплитуды равны. Общую задачу мы рассмотрим позднее. Полная амплитуда в точке Р при этом будет суммой двух косинусов. Если мы построим график зависимости амплитуды от вре­мени, как это показано на фиг.48.1,то окажется, что, когда гребни двух волн совпадают, получается большое отклонение, когда совпадают гребень и впадина — практически нуль, а когда гребни снова совпадают, вновь получается большая волна.

Фиг. 48.1. Суперпозиция двух косинусообразных волн с отношением частот 8:10. Точное повторение колебаний внутри каждого биения для общего случая не типично.

Математически нам нужно взять сумму двух косинусов и как-то ее перестроить. Для этого потребуются некоторые полез­ные соотношения между косинусами. Давайте получим их. Вы знаете, конечно, что

ei(a+b)=eiaeib (48.1)

и что вещественная часть экспоненты eiaравна cosа, а мни­мая часть равна sin а. Если мы возьмем вещественную часть ехр [-i(a+b)], то получим cos (a+b), а для произведения

eiaeib=(cosa+isin a)(cosb+isinb)

мы получаем cosacosb-sinasinb плюс некоторая мнимая добавка. Сейчас, однако, нам нужна только вещественная часть. Таким образом,

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb. (48.2)

Если теперь изменить знак величины b, то, поскольку коси­нус при этом не изменяет знака, а синус изменяет знак на обратный, мы получаем аналогичное выражение для косинуса разности

cos(a-b)=cosacosb+sinasinb. (48.3)

После сложения этих двух уравнений произведение синусов сократится, и мы находим, что произведение двух косинусов равно половине косинуса суммы плюс половина косинуса разности

cosacosb=1/2cos (а+b)+1/2cos (a-b). (48.4)

Теперь можно обернуть это выражение и получить формулу для cosa+cosb, если просто положить a = а+b, a b= а-b, т. е. a =1/2(a+b), a b=1/2(a-b):

cosa+cosb=2cos1/2(a+b) cos1/2(a-b). (48.5)

Но вернемся к нашей проблеме. Сумма cosw1t и cosw2t равна

cosw1t+cosw2t=2cos1/2(w1+w2)tcos1/2(w1-w2)t. (48.6)

Пусть теперь частоты приблизительно одинаковы, так что 1/2(w1+w2) равна какой-то средней частоте, которая более или менее та же, что и каждая из них. Но разность w1-w2 гораздо меньше, чем w1 и w2, поскольку мы предположили, что w1 и w2 приблизительно равны друг другу. Это означает, что результат сложения можно истолковать так, как будто есть косинусообразная волна с частотой, более или менее равной пер­воначальным, но что «размах» ее медленно меняется: он пульси­рует с частотой, равной 1l2(w1-w2)- Но та ли это частота, с которой мы слышим биения? Уравнение (48.6) говорит, что амплитуда ведет себя как cos1/2(w1-w2), и это надо понимать так, что высокочастотные колебания заключены между двумя косинусоидами с противоположными знаками (пунктирная линия на фиг. 48.1). Хотя амплитуда действительно меняется с частотой 1/2(w1-w2), однако если речь идет об интенсивности волн, то мы должны представлять себе частоту в два раза боль­шую. Иначе говоря, модуляция амплитуды в смысле ее интен­сивности происходит с частотой w1-w2, хотя мы и умножаем на косинус половинной частоты.

Пренебрегая этими небольшими усложнениями, мы можем заключить, что если складывать две волны с частотами w1 и w2, то получим волну с частотой, равной средней частоте 1/2(w1+w2), «сила» которой осциллирует с частотой w1-w2.

Если амплитуды двух волн различны, то можно, конечно, повторить все вычисления снова, умножив предварительно косинусы на различные амплитуды А1и А2и произведя массу всяких математических вычислений, перестроек и т. п. с исполь­зованием уравнений, подобных (48.2) — (48.5). Однако есть и другой, более легкий путь провести этот же анализ. Известно, например, что гораздо легче работать с экспонентами, чем с синусами и косинусами, поэтому можно представить A1созw1t как реальную часть экспоненты А 1ехр (iw1t). Подобным же обра­зом вторая волна будет реальной частью A2ехр(iw2t). После сложения этих экспонент A1exp(iw1t)+A2exp(iw2t) и выделения в качестве множителя экспоненты со средней частотой мы получим

т. е. снова оказывается, что высокочастотная волна модули­руется малой частотой.

§ 2. Некоторые замечания о биениях и модуляции

Предположим теперь, что нас интересует интенсивность волны, описываемой уравнением (48.7). Чтобы найти ее, нужно взять квадрат абсолютной величины либо правой, либо левой части этого уравнения. Давайте возьмем левую часть. Интен­сивность при этом будет равна

I = A21+A22 + 2A1A2cos(wl -w2)t. (48.8)

Видите, интенсивность возрастает и падает с частотой w1-w2, изменяясь в пределах между (А1+A2)2и (А1-A2)2. Если А1№А2, то минимальная интенсивность не равна нулю.

Те же результаты можно получить и другим путем—с по­мощью схем, подобных фиг. 48.2.

Фиг. 48.2. Результат сложения двух комплексных векторов с рав­ными частотами.

Изобразим одну из волн в виде вектора длиной A1 в комплексной плоскости, вращающе­гося с угловой скоростью w1. Вторую волну изобразим другим вектором, длина которого A2, а угловая скорость вращения w2. Если эти частоты в точности равны между собой, то мы по­лучим вращающийся вектор, длина которого все время по­стоянна. Так что интенсивность в этом случае будет все время постоянной фиксированной величиной. Если, однако, частоты хоть немного отличаются одна от другой, то эти два вектора будут крутиться с различными скоростями.

На фиг. 48.3 показано, как выглядит вся картина «с точки зрения» вектора A1exp(iw1t).

Фиг. 48.3. Результат сложения двух комплексных векторов с раз­личными частотами во вращаю­щейся системе отсчета первого вектора.

Показаны девять последовательных по­ложений медленно вращающегося век­тора.

Мы видим, что вектор А2медленно «отворачивается» от вектора А1, так что амплитуда, получаемая при сложении этих векторов, сначала велика, а затем, когда второй вектор совсем «отвернется» в другую сторону, т. е. когда угол между ними станет 180°, она будет особенно мала, и т. д. Вектор крутится, амплитуда суммы векторов становится то больше, то меньше, а интенсивность пульсирует. Идея срав­нительно простая, и ее можно реализовать множеством раз­личных способов. Этот эффект очень легко наблюдать экспери­ментально. Можно установить, например, два громкоговори­теля, каждый из которых связан со своим генератором коле­баний и может давать свой собственный тон. Таким образом, мы принимаем один сигнал от первого источника, а другой сигнал от второго. Если частоты этих сигналов в точности одинаковы, то в результате в каждой точке пространства полу­чится эффект определенной силы. Но если генераторы немного расстроить, то мы услышим некоторые изменения интенсив­ности. Чем больше мы расстраиваем генераторы, тем более быстрыми будут изменения силы звука. Однако уху становится трудно уследить за изменениями, скорость которых превышает 10 колебаний в секунду или что-то около этого.