Брайан Кокс - Почему Е=mc²? И почему это должно нас волновать Страница 17

Рис. 5

Тот факт, что два разных наблюдателя могут измерить разные значения x и t, получив при этом одинаковое значение s, имеет очень важное следствие, которое довольно просто визуализировать. На рис. 5 показана окружность с центром в точке O (событие, соответствующее пробуждению в семь утра), с радиусом s. Поскольку пока мы используем формулу Пифагора для расчета расстояния, каждая точка окружности одинаково удалена от O. Это вполне очевидно: расстояние представляет собой радиус окружности. Точки вне круга находятся дальше от O, а точки внутри круга – ближе к O. Но наша гипотеза гласит, что s – это расстояние в пространстве-времени между событиями O и A. Другими словами, событие A может находиться где угодно на окружности, и при этом его расстояние в пространстве-времени от события O будет равно s. В какой же точке окружности должно располагаться событие A? Это зависит от того, кто измеряет x и t. Мне, находящемуся в доме, точно известно, что x = 10 метров и t = 1 час. На диаграмме эта точка отмечена как A. Для наблюдателя в летящей с огромной скоростью ракете расстояние в пространстве x и расстояние во времени t изменятся, но если s при этом останется неизменным, событие должно по-прежнему находиться где-то на окружности. Так что разные наблюдатели будут указывать разные положения в пространстве и времени для одного и того же события, но при этом станут подчиняться одному ограничению – все они будут находиться на указанной окружности. Обозначим два возможных положения события как A′ и A″. Что касается положения A′, то оно малоинтересно, а вот положение A″ заслуживает внимания. Здесь действительно происходит нечто весьма любопытное. A″ имеет отрицательное расстояние во времени относительно O. Другими словами, A″ происходит до O. Оно теперь находится в прошлом относительно O. Это мир, в котором вы завершаете завтрак до того, как просыпаетесь! Такое обстоятельство – очевидное нарушение принятой нами аксиомы о выполнении принципа причинности.

В качестве отступления заметим, что такие изображения, как на рис. 4 и 5, называются пространственно-временными диаграммами и очень часто помогают нам разобраться в происходящем. В действительности они довольно просты. Крестики на пространственно-временной диаграмме обозначают события. Мы можем опустить из события вертикальную линию до оси, обозначенной как «пространство», чтобы выяснить, как далеко в пространстве отстоит данное событие от события O. Аналогично горизонтальная линия от события до оси, отмеченной как «время», говорит нам о том, сколько времени прошло между данным событием и событием O. Область над осью пространства можно рассматривать как будущее для O (поскольку значение времени положительно для каждого события в этой области), а область ниже этой оси – как прошлое (так как здесь значения времени отрицательны). Проблема, с которой мы столкнулись, заключается в том, что мы построили определение расстояния s в пространстве-времени между событиями O и A, позволяющее событию A находиться как в будущем, так и в прошлом по отношению к событию O в зависимости от того, как именно движется наблюдатель. Другими словами, мы обнаружили, что требование о выполнении принципа причинности непосредственно связано с тем, как мы обозначаем расстояние в пространстве-времени, и простое определение Пифагора со знаком плюс нам не подходит.

Мы столкнулись с тем, что английский биолог Томас Хаксли[24] описал как «великую трагедию науки – убийство красивой гипотезы уродливым фактом». Однажды Уильям Уилберфорс[25] спросил Хаксли, которого прозвали Бульдог Дарвина за беззаветную защиту теории эволюции, по какой линии (отцовской или материнской) тот происходит от обезьяны. Хаксли ответил, что не стыдно иметь в предках обезьяну, стыдно быть человеком, использующим свой великий дар, чтобы скрывать истину. В нашем случае трагическая истина заключается в том, что мы должны отказаться от простейших гипотез, если хотим сохранить принцип причинности, и перейти к гипотезам посложнее.

Наша следующая и, по сути, единственная оставшаяся гипотеза звучит так: расстояние между точками в пространстве-времени вычисляется по формуле s² = (ct)² – x². В отличие от версии со знаком плюс это мир, в котором неприменима геометрия Эвклида, как и в случае геометрии на поверхности Земли. У математиков для пространства, в котором расстояние между двумя точками описывается приведенным выше уравнением, есть свое имя: гиперболическое пространство. Физики же называют его пространством-временем Минковского. Читатель может принять это название как намек, что мы находимся на верном пути! Теперь наша главная задача – определить, не нарушается ли в пространстве-времени Минковского требование о выполнении принципа причинности.

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно еще раз взглянуть на линии в пространстве-времени, точки которых находятся на одинаковом расстоянии s от точки O (то есть мы хотим рассмотреть аналоги окружностей в эвклидовом пространстве-времени). Единственное отличие – знак минус вместо знака плюс. На рис. 6 показаны наши старые знакомые – события O и A, а также линия точек, равноудаленных от точки O. Очень важно то, что эти точки больше не лежат на окружности. Сейчас они расположены на кривой, известной математикам как гипербола. С математической точки зрения все точки на этой кривой удовлетворяют нашему уравнению s² = (ct)² − x². Обратите внимание, что кривая стремится приблизиться к пунктирным прямым линиям, наклоненным под углом 45 градусов к осям. Теперь ситуация в восприятии наблюдателя в космическом корабле совершенно иная, чем в версии со знаком плюс, поскольку событие A всегда находится в будущем по отношению к событию O. Событие A может перемещаться вдоль кривой, но оно никогда не окажется в прошлом по отношению к O. Другими словами, все наблюдатели согласятся, что вы проснулись до того, как позавтракали. Можно вздохнуть с облегчением: принцип причинности в пространстве-времени Минковского не нарушается.

Рис. 6

Это один из важнейших моментов в книге, поэтому его стоит повторить. Если мы решили определять расстояние в пространстве-времени между двумя событиями O и A с помощью уравнения Пифагора, но со знаком минус вместо плюса, то независимо от того, кто именно рассматривает эти два события, событие A никогда не окажется в прошлом по отношению к событию O; оно просто перемещается по гиперболе. Это означает, что если событие A находится в будущем события O для одного наблюдателя, то с этим утверждением согласятся и все остальные наблюдатели. Поскольку гипербола никогда не попадает в прошлое события O, все признают то, что вы отправились завтракать после того, как проснулись.

Итак, мы только что завершили очень тонкие рассуждения. Это, конечно, не означает, что мы были правы, принимая исходную гипотезу о наличии «инвариантного» расстояния в пространстве-времени, которое будет справедливо для всех наблюдателей. Но это означает, что наша гипотеза прошла важную проверку на подчинение требованиям принципа причинности. Мы еще не закончили, потому что не просто играем с математикой. Мы физики и пытаемся построить теорию, описывающую устройство нашего мира. Конечным и решающим ее испытанием будет ее способность делать прогнозы, согласующиеся с результатами экспериментов. Но пока мы к этому не готовы, поскольку не знаем, чему равна калибровочная скорость c. Без чисел мы просто не в состоянии ничего вычислить.

Помните: для того чтобы описать понятие расстояния в пространстве-времени, нам нужно значение c, потому что измерять пространство и время необходимо в одних и тех же единицах. Пока мы не можем точно сказать, что собой представляет скорость c. Есть ли в ней что-то интересное? Ключ к ответу лежит в интригующем свойстве только что построенного пространства-времени Минковского. Эти пунктирные линии под углом 45 градусов к осям очень важны. На рис. 7 мы изобразили несколько других кривых, каждая из которых обладает свойством эквидистантности от O в пространстве-времени. Важный момент: мы можем изобразить четыре типа кривых. Одна находится полностью в будущем относительно O, другая – в прошлом, а две оставшиеся расположены слева и справа. Они внушают некоторую тревогу, поскольку пересекают горизонтальную ось так же, как и окружность, когда мы рассматривали формулу Пифагора со знаком плюс. Тогда нам пришлось отвергнуть гипотезу из-за нарушения принципа причинности. Не оказались ли мы в том же тупике в версии со знаком минус? Нет, потому что на сей раз из тупика есть выход. На рис. 7 показано событие B, расположенное в проблемной области; оно находится в прошлом по отношению к событию O. Однако эквидистантная гипербола, все точки которой размещены на одном и том же расстоянии от O в пространстве-времени, пересекает ось пространства. Это говорит о том, что могут быть как наблюдатели, для которых событие B находится по отношению к событию O в будущем, так и наблюдатели, для которых событие B находится по отношению к событию O в прошлом. Не забывайте: для всех наблюдателей расстояние между событиями в пространстве-времени одинаково, даже если по отдельности расстояние в пространстве и расстояние во времени для них различно. Хотя это выглядит как нарушение принципа причинности, к счастью, это совершенно не так.