Брайан Кокс - Почему Е=mc²? И почему это должно нас волновать Страница 18

Итак, мы только что завершили очень тонкие рассуждения. Это, конечно, не означает, что мы были правы, принимая исходную гипотезу о наличии «инвариантного» расстояния в пространстве-времени, которое будет справедливо для всех наблюдателей. Но это означает, что наша гипотеза прошла важную проверку на подчинение требованиям принципа причинности. Мы еще не закончили, потому что не просто играем с математикой. Мы физики и пытаемся построить теорию, описывающую устройство нашего мира. Конечным и решающим ее испытанием будет ее способность делать прогнозы, согласующиеся с результатами экспериментов. Но пока мы к этому не готовы, поскольку не знаем, чему равна калибровочная скорость c. Без чисел мы просто не в состоянии ничего вычислить.

Помните: для того чтобы описать понятие расстояния в пространстве-времени, нам нужно значение c, потому что измерять пространство и время необходимо в одних и тех же единицах. Пока мы не можем точно сказать, что собой представляет скорость c. Есть ли в ней что-то интересное? Ключ к ответу лежит в интригующем свойстве только что построенного пространства-времени Минковского. Эти пунктирные линии под углом 45 градусов к осям очень важны. На рис. 7 мы изобразили несколько других кривых, каждая из которых обладает свойством эквидистантности от O в пространстве-времени. Важный момент: мы можем изобразить четыре типа кривых. Одна находится полностью в будущем относительно O, другая – в прошлом, а две оставшиеся расположены слева и справа. Они внушают некоторую тревогу, поскольку пересекают горизонтальную ось так же, как и окружность, когда мы рассматривали формулу Пифагора со знаком плюс. Тогда нам пришлось отвергнуть гипотезу из-за нарушения принципа причинности. Не оказались ли мы в том же тупике в версии со знаком минус? Нет, потому что на сей раз из тупика есть выход. На рис. 7 показано событие B, расположенное в проблемной области; оно находится в прошлом по отношению к событию O. Однако эквидистантная гипербола, все точки которой размещены на одном и том же расстоянии от O в пространстве-времени, пересекает ось пространства. Это говорит о том, что могут быть как наблюдатели, для которых событие B находится по отношению к событию O в будущем, так и наблюдатели, для которых событие B находится по отношению к событию O в прошлом. Не забывайте: для всех наблюдателей расстояние между событиями в пространстве-времени одинаково, даже если по отдельности расстояние в пространстве и расстояние во времени для них различно. Хотя это выглядит как нарушение принципа причинности, к счастью, это совершенно не так.

Рис. 7

Как же восстановить принцип причинности в нашей теории пространства-времени? Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны более серьезно поразмышлять о том, что мы понимаем под причинностью. Следующая часть рассуждений будет включать космические корабли и лазеры, так что вы сможете немного отдохнуть от иссушающих мозг абстрактных понятий. Давайте вернемся еще раз к событию O – утреннему подъему. А если точнее, сопоставим это событие с моментом, когда перестает звонить будильник. Незадолго до этого с одной из планет системы Альфы Центавра, ближайшей к Земле звездной системы, находящейся на расстоянии четырех световых лет, взлетел космический корабль и направился к Земле. Должны ли все наблюдатели согласиться, что корабль стартовал до того, как я проснулся? С точки зрения принципа причинности все зависит от того, насколько быстро может распространяться информация. Если информация может путешествовать с бесконечной скоростью, то инопланетный корабль теоретически способен выпустить лазерный луч, который мгновенно достигнет Земли и уничтожит мой будильник. В результате я просплю и останусь без завтрака. Это, конечно, ужасно, но поскольку мы ставим мысленный эксперимент, давайте отвлечемся от эмоциональных последствий уничтожения моего будильника и продолжим рассуждать. Выстрел боевого лазера лишает меня завтрака, а значит, порядок этих событий не может быть изменен без нарушения принципа причинности. Это легко увидеть, так как, если бы некий наблюдатель мог прийти к выводу, что выстрел состоялся после моего пробуждения, получилось бы противоречие: я не мог бы проспать просто потому, что уже встал. Мы вынуждены сделать следующее заключение: если информация может переноситься с произвольно высокой скоростью, то порядок любых двух событий никогда не может быть изменен без нарушения закона причины и следствия. Однако в наших рассуждениях есть лазейка, которая позволяет менять порядок определенных пар событий на обратный, но только если они находятся вне 45-градусных прямых. Эти прямые действительно начинают выглядеть очень важными.

Давайте еще раз представим себе инцидент с лазером и будильником, но уже с учетом наличия некоторой предельной скорости. Другими словами, теперь мы не позволим лучу лазера бесконечно быстро перемещаться от космического корабля к нашему будильнику. Вернемся опять к рис. 7 и примем выстрел лазера за событие B. Если космический корабль выстрелит лазером (событие B) незадолго до звонка будильника (событие O), но с очень большого расстояния, то зеленые человечки никак не помешают мне проснуться, потому что лазерному лучу просто не хватит времени для того, чтобы преодолеть расстояние от космического корабля до моего будильника. Так будет в случае, если скорость луча лазера не превышает некоторого космического ограничения скорости. В этой ситуации события O и B называются причинно несвязанными.

Как показано на рис. 7, мы предполагаем, что событие B произошло незадолго до события O так, что оно находится в области правого «клина», «опасной» для принципа причинности. Различные наблюдатели могут не согласиться друг с другом в отношении того, происходит ли событие B до события O или после него, поскольку разные точки зрения соответствуют разному положению точки B на гиперболе, пересекающей пространственную ось из прошлого в будущее. Это неизбежно, но принцип причинности может быть сохранен в случае отсутствия какого-либо способа, каким событие B могло бы влиять на событие O. Иными словами, кого интересует, произошло ли событие B в прошлом или будущем события O, если это совершенно не играет никакой роли, потому что события B и O никак не влияют друг на друга? В пространстве-времени Минковского есть четыре области, отделенные друг от друга пунктирными прямыми, проведенными под углами 45 градусов к осям. Если мы хотим спасти принцип причинности, то любое событие, произошедшее в левой или правой четвертях, не должно иметь возможности послать сигнал, который бы мог достичь O.

Чтобы интерпретировать разделяющие линии, давайте еще раз посмотрим на пространственно-временную диаграмму. Горизонтальная ось представляет расстояние в пространстве, а вертикальная – во времени. Следовательно, наклоненные под углом 45 градусов прямые соответствуют событиям, для которых расстояние в пространстве от O равно расстоянию от O во времени (ct). Как быстро должен перемещаться сигнал от O, чтобы он влиял на события, лежащие в точности на 45-градусной прямой? Понятно, что если событие отстоит от O на секунду в будущем, то сигнал должен пройти расстояние c · 1 секунду. Если событие отстоит от O на две секунды в будущем, то сигнал должен пройти расстояние c · 2 секунды. Иными словами, сигнал должен распространяться со скоростью c. Чтобы сигнал дошел от события B к событию O, он должен перемещаться со скоростью, превышающей скорость c. И наоборот, для любого события, лежащего между 45-градусными прямыми в верхней и нижней четвертях, возможно сообщение между ним и событием O с помощью сигнала, скорость которого не превышает c.

Наконец-то нам удалось интерпретировать скорость c: это предельная скорость во Вселенной. Ничто не может двигаться быстрее, поскольку это могло бы использоваться для передачи информации, которая бы привела к нарушению принципа причинности. Обратите также внимание, что если все наблюдатели сойдутся во мнении о расстоянии в пространстве-времени между двумя событиями, то они должны сойтись и насчет предельной скорости c независимо от их движения в пространстве-времени. Таким образом, скорость c обладает дополнительным интересным свойством: независимо от того, как движутся два разных наблюдателя, при измерениях они всегда должны получать одно и то же значение c. Скорость c сильно начинает напоминать другую особую скорость, с которой мы уже сталкивались в этой книге, – скорость света, хотя мы еще не доказали, что это одно и то же.